专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（知识点讲解）- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试（新教材·新高考）

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 1．结合二次函数的图象，考查一元二次不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 2．结合“三个二次”间的关系，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养． 3．与实际问题相结合，考查应用不等式性质、一元二次不等式解决问题的能力，凸显数学建模的核心素养． 【知识点展示】 （一）二次函数与方程、不等式 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系 函数图象 判别式符号 (设判别式 Δ＝b2－4ac) Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根 的个数 2 1 0 2．根的分布 设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的方程的根为x1、x2. 根的分布(m＜n＜p) 图象 满足条件 一个 区间 只有 一个 根 x1＜m＜x2 f(m)＜0 m＜x1＜n ＜x2＜p 一个 区间 有两 个根 m＜x1＜ x2＜n m＜x1＜x2 在(m，n)内有且只有一个根 或 f(m)·f(n)＜0或Δ＝0 且－∈(m，n) 或 或 另外，x1，x2∈(0，＋∞)，即两正根，也可通过满足条件来解决；x1，x2∈(－∞，0)，即两负根，也可通过满足条件来解决；x1，x2一正一负也可通过满足来解决． （二）一元二次不等式恒成立问题 1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． *(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a 恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. *3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 【常考题型剖析】 题型一 二次函数的图象和性质 例1.（2021·湖南·高考真题）函数的单调递减区间是（       ） A． B． C． D． 例2.（2015·山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（       ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 例3. （2017·浙江·高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值 A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 例4.（2014·江苏·高考真题）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 【方法技巧】 对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值． 题型二：二次函数的图象和性质的应用 例5. （2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 例6．（2013·重庆·高考真题（文））关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　） A． B． C． D． 例7.（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为__________． 例8. （2017·北京·高考真题（文））已知,,且,则的取值范围是_____. 【本题说法】 本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单. 题型三：一元二次方程根的分布问题 例9.（2022·甘肃庆阳·高一期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【规律方法】 有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数