专题2.2 基本不等式及其应用（知识点讲解）- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试（新教材·新高考）

专题2.2 基本不等式及其应用（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 1．考查不等式的证明，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养． 2．结合求函数最值问题，考查灵活运用基本不等式解决问题的能力，凸显数学运算的核心素养． 3．结合实际应用问题，考查利用基本不等式求最值问题，凸显数学建模的核心素养． 【知识点展示】 1．重要不等式 当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立． 2．基本不等式 当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立． 3．基本不等式与最值 已知x、y都是正数． (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值． 4.常用推论 （1）（） （2）（，）； （3） 【常考题型剖析】 题型一 利用基本不等式证明不等式 例1.【多选题】（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（       ） A． B． C． D． 【方法技巧】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 题型二：利用基本不等式求最值 例2.（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 例3.（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______． 例4.（2019·天津·高考真题（文）） 设，，，则的最小值为__________. 例5.（2018·天津·高考真题（理））已知，且，则的最小值为_____________. 【规律方法】 利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如 的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 题型三：基本不等式的实际应用 例6.（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________． 例7.（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. （1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本; （2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润. 【规律方法】 1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 2.利用基本不等式求解实际应用题注意点： (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！ 题型四：基本不等式的综合运用 例8．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ） A． B． C． D． 例9.（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（       ） A． B． C． D． 例10．（2017·天津·高考真题（理））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A． B． C． D． 例11.（2017·山东·高考真题（文））若直线过点，则的最小值为________． 例12.（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））若不等式对一切非零实数恒成立，则实数的取值范围是________； 【总结提升】 基本不等式的综合应用求解策略 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (