第9讲 外接球、内切球、棱切球问题-2023年新高考数学立体几何压轴小题专题突破（新高考专用）

第9讲 外接球、内切球、棱切球问题 一、单选题 1．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 作出辅助线，找到外接球的球心位置，求出外接球半径，进而求出表面积. 【详解】 如图所示：其中D为AB的中点，O为外接圆的圆心，， ∴O在CD上，且， ． ，D为AB的中点， ， ∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC， 平面PAB．又DA，DB，平面PAB， ，，． 在中，，D为AB的中点， ． ． ∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径， ∴该三棱锥外接球的表面积． 故选：B 【点睛】 三棱锥的外接球问题，要选择一个特殊的平面，找到球心在这个平面的投影，然后找到球心的位置，利用半径，设出未知数，列出方程，求出半径，进而求出表面积或体积. 2．（2022·全国·模拟预测（理））直角中，，，D是斜边AC上的一动点，沿BD将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 作，，，，设，则有，从而求解即可. 【详解】 作，，，， 设，，，． 在中，，在中，， ． 当时最小． 设，的外接圆半径分别为， ∴，∴ ，． ∴ ∴. 故选:D． 3．（2022·江西·模拟预测（文））如图所示几何体ABCDEF，底面ABCD为矩形，，，△ADE与△BCF是等边三角形，，，则该几何体的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 找到球心及球心在平面ABCD上的投影，根据题干信息得到各边长，设出，利用半径列出方程，求出，进而求出半径，外接球表面积. 【详解】 连接AC，BD交于点O，过O点作平面ABCD，交EF与M. 因为四边形ABCD为长方形，所以外接球的球心在OM直线上，设为外接球的球心， 取AD，BC的中点分别为G，H，连接EG，FH， 因为，，可得， 因为，为等边三角形，所以， 因为，，所以平面EFHG， 因为，所以，， 所以，，因为，所以EF到平面ABCD的距离为， 设，则， 所以，，所以， 即，解得:， 所以， 所以. 【点睛】 立体几何中的外接球问题，要能画出图形，找到球心和球心在某些特殊平面上的投影，利用半径建立方程，求出半径，再求解表面积或体积. 4．（2022·河南·高三阶段练习（理））在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，二面角是150°，则三棱锥外接球的表面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意画出简图，通过作图分析出几何体外接球的球心位置，算出半径，即可求出表面积. 【详解】 如图，作平面ABC，垂足为E，连接BE，记，连接PD. 由题意可得D为AC的中点. 在中，，D为AC的中点， 因为，所以，则. 因为二面角是150°，所以， 所以，. 因为是边长为的等边三角形，且D为AC的中点，所以. 设为外接圆的圆心，则. 设三棱锥外接球的球心为O， 因为，所以O在平面ABC下方， 连接，OB，OP，作，垂足为H， 则，. 设三棱锥外接球的半径为， ，即，解得， 故三棱锥外接球的表面积是. 故选：A. 5．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知三棱锥S－ABC中，∠BAC=，SB⊥AB，SC⊥AC，SB=SC=3，，三棱锥体积为，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（       ） A．5π B．20π C．25π D．100π 【答案】C 【解析】 【分析】 观察△SBA、△SCA均为直角三角形，得到点P为三棱锥S－ABC外接球的球心，且棱锥P－ABC为正三棱锥，可以通过设高|PO|结合求得底面正△ABC的边长a，从而得到外接球半径|PA|，最后求得表面积． 【详解】 解：如图，取SA中点P，SB⊥AB，SC⊥AC，则△SBA，△SCA均为直角三角形， PA=PB=PC=PS，即点P为三棱锥S－ABC外接球球心，PA即为外接球半径， 又SB=SC，故AB=AC且为等边三角形 又PA=PB=PC三棱锥P－ABC为正三棱锥； 作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接OA 则O为△ABC的外心， 设正三角形ABC的边长为a， 则， 即，外接球表面积为，故排除A； ∴，故排除D； 若，则，代入方程不成立，故排除B； 若，则，代入方程成立，所以C正确， 故选：C 6．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为和的重心，P为线段CM上一点．（       ） A．的最小为2 B．若DP⊥平面ABC，则 C．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC外接球