第8讲 空间角问题-2023年新高考数学立体几何压轴小题专题突破（新高考专用）

第8讲 空间角问题 一、单选题 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先在图中作出直线与平面所成的角，平面与底面所成的锐二面角，可得，同理得，再由和差化积公式得到，即可判断A、C选项；再通过三角恒等变换得到，进而得到，即，即可判断B、D选项. 【详解】 如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面EFG的交线， 又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得. 过A作面EFG，垂足为P，过A作，垂足为Q，连接，易得即为直线与平面所成的角， 则，又面EFG，面EFG，则，又，面，， 所以面，面，则，则即为平面与底面所成的锐二面角，则， 又，则，同理可得，则， 又由， ， 则， 故，A，C错误； 故，由可知，所以， 即，整理可得， 即，即， 故，又，故，B正确，D错误. 故选：B. 2．（2022·浙江·高三专题练习）在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．可能值为 D．当取值最大时， 【答案】C 【解析】 【分析】 对选项A，先找到二面角的平面角，再根据边角关系证明与全等，然后根据直线垂直并平分线段即可判断；对选项B，找到角的关系和，然后分别运用正切的两角差公式解得即可；对选项C和D，均是先根据运用正切的两角差公式，然后通过换元得到一个一元二次方程，然后根据判别式即可判断. 【详解】 如图所示，连接延长交与，连接延长交与，设平面平面 顶点P在底面的射影为的垂心，平面，平面平面 则有：直线与平行 又，则 平面，则 又 则平面 从而 故为与平面的二面角，即 同理可得： 对选项A，，又，则有： 可得：与全等，则 又根据是的垂心，则， 综上可得：直线垂直并平分线段 可得：，故选项A正确； 对选项B，易知有如下角关系： 又，则有： 可得： 解得： 则，故选项B正确； 对选项C，若，则有： 则有： 化简后可得： 令，则有： 则有：，此时方程无解，故选项C错误； 对选项D，设（），则有： 可化简为： 令，则有： 则有： 解得： 故取得最大值时，，此时 同理可得： 故，且 则有：，故选项D正确； 故选：C 【点睛】 二面角的问题，常见的有两种方法：一是通过二面角的定义作二面角的平面角；二是通过空间向量的方法，这两种方法需要灵活选择，如果选择不当，则很可能会大大增加计算量，本题不宜采用空间向量法 3．（2022·全国·高三专题练习）在三棱台中，底面BCD，，，．若A是BD中点，点P在侧面内，则直线与AP夹角的正弦值的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用异面直线的夹角定义转化为求直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，最小值为点到面的距离，再利用等体积法求出距离，进而得解. 【详解】 如图，分别取的中点，连接， 取的中点，连接 由三棱台的性质知，且， 所以四边形为平行四边形， 又，，故直线与AP的夹角为直线与AP的夹角， 要使直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小， 又点P在侧面内，则需点到AP的距离最小，即点到面的距离， 设点到面的距离为，利用等体积法知 即，即， 在直角中，，， 又在中，，，， ，又 设直线与AP夹角的最小值为，则 故选：B 【点睛】 关键点点睛：本题考查异面直线的夹角，解题的关键是通过异面直线夹角定义转化，再将所求夹角正弦值转化为点到AP的距离最小，即点到面的距离，考查学生的转化化归能力与运算求解能力，属于难题。 4．（2022·浙江台州·高三期末）已知在正方体中，点为棱的中点，直线在平面内．若二面角的平面角为，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 先找到二面角的平面角的最大值，即最小，再求解出此角的余弦值. 【详解】 连接AE，取AE的中点P，过点P作FG⊥AE交CD于点F，交AB于点G，设正方体棱长为2，由勾股定理可知：，，同理，取的中点，连接，取的中点，过点作MN⊥交于点M，交于点N，则直线即为直线，此时，MF⊥CD，NG⊥AB，OP⊥底面ABCD，因为FG平面ABCD，所以OP⊥FG，因为AE∩OP=P，所以FG⊥平面AOP，连接OA，OE ，因为OA平面AOP，所以OA⊥FG，因为MN∥FG，所以OA⊥MN，同理可证：O