第7讲 空间线段以及线段之和最值问题-2023年新高考数学立体几何压轴小题专题突破（新高考专用）

第7讲 空间线段以及线段之和最值问题 一、单选题 1．（2022·山东·高一阶段练习）已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：两点间距离的最小值为，易求外接圆半径，结合等体积法可求出内切圆半径和，进而得解. 【详解】 由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示. 设三棱锥内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为， 易知：三点均在上，且平面， 设内切球的半径为，外接球的半径为，则. 由等体积法：，得， 由等体积法：，得， 将几何体沿截面切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面， ∴两点间距离的最小值为. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：根据题设将三棱锥补成正方体，进而确定内切球，外接球球心，结合等体积法求内切圆半径及，即可得的长度的最小值. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据外接球表面积求得外接球半径，进而求得三棱锥的高，并推出侧面为等腰直角三角形，作辅助线，将转化为一条线段，从而确定最小时的线段的位置，再结合三角函数值，解直角三角形,求得答案. 【详解】 依题意，，解得， 由 是正三角形可知：其外接圆半径为 ， 设点S到平面ABC的距离为h，故， 解得或， 则或（舍去）， 故，则 ,而 ，故 为等腰直角三角形， ， 故 为等腰直角三角形，,则 , 又 ,故平面SCM， 取CB中点F，连接NF交CM于点O，则 ,则平面SCM , 故平面SCM，则， 要求最小，首先需PQ最小，此时可得平面SCM，则； 再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中 位置， 当共线且时，的最小值即为的长， 由 为等腰直角三角形， 故，， ∴，即，∴， 可得，， 故选：B. 【点睛】 本题考查了空间几何体上线段和最小值的求解，涉及到几何体的外接球以及空间的线面位置关系等问题，解答时要发挥空间想象，明确点线面的位置关系，并能进行相关计算，解答的关键是要将两线段的和转化为一条线段，才可求得线段和的最小值. 3．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体中，点满足，点在平面内，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据线面垂直的判定定理可证出平面，记与平面交于点，则易得，从而得点关于平面对称的点为，可知的最小值为，最后根据空间中两点间的距离公式即可求出结果. 【详解】 解：以点为坐标原点，分别为轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则， 因为，且，则平面， 所以，同理得平面，所以， 而，所以平面， 记与平面交于点，连接，且， 则，易得， 从而得点关于平面对称的点为， 所以的最小值为. 故选：B. 4．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】 【分析】 连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,,利用余弦定理即可求解. 【详解】 连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，                                       设点的新位置为，连接，则有. 当三点共线时，则即为的最小值. 在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即 在三角形中，，，由勾股定理可得：,且. 同理可求： 因为，所以为等边三角形，所以， 所以在三角形中，,, 由余弦定理得：. 故选B. 【点睛】 （1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量； （2）立体几何中距离的最值一般处理方式： ①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值； ②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值. 二、多选题 5．（2022·湖北·高一阶段练习）已知正方体的棱长为2，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（       ） A．时， B．时，的最小值为 C．时，直线与面的交点轨迹长度为 D．时，正方体被平面截的图形最大面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A选项，作出辅助线，得到点在线段上，证明线面垂直，得到线线垂直； B选项，作出辅助线，将两平面展开为同一平面内，利用两点之间线段最短，得到