第6讲 立体几何中的交线问题-2023年新高考数学立体几何压轴小题专题突破（新高考专用）

第6讲 立体几何中的交线问题 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是（       ） ①点的轨迹长度为； ②线段的轨迹与平面的交线为圆弧； ③的最小值为； ④过、、作正方体的截面，则该截面的周长为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 对于①，根据圆的定义得到轨迹，并且①中要注意点在平面上，而非正方形上；对于②，圆锥的斜截面与侧面的交线不是圆的一部分就可以判断；对于③，实质是要计算①中的圆心到直线的距离；对于④，要先作出截面，然后再计算周长. 【详解】 设的中点为，则点的轨迹是平面上以为圆心，以2为半径的圆，所以点的轨迹长度为，故①错误； 连接，易知线段的轨迹是圆锥的侧面，而平面与轴不垂直，所以线段的轨迹与平面的交线不是圆弧，故②错误； 以的中点为原点，分别以水平向右、垂直平分为轴、轴建立平面直角坐标系，则所在的直线方程为，则点到直线的距离为，所以的最小值为，故③正确； 如下图，过作正方体的截面，为五边形，其中为的靠近的三等分点，为的靠近的四等分点. 可计算得， ， 所以该截面的周长为，故④错误. 故选：D. 【点睛】 关键点睛：本题一是要注意点在平面上，而非正方形上，二是要正确的作出过的截面. 2．（2022·全国·高三专题练习）在正四棱锥中，已知，为底面的中心，以点为球心作一个半径为的球，则该球的球面与侧面的交线长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 取CD的中点为E，可得，，，可得，，故，为正三角形，球心O在平面PCD上的投影M即为的中心， 分别求出球的半径和截面圆的半径，最后根据该球的球面与侧面的交线长度为截面圆周长的一半求解即可. 【详解】 如图，取CD的中点为E，则有，， ，可得，，故， 为正三角形，球心O在平面PCD上的投影M即为的中心， ，球的半径， 在中，则截面圆半径， 在正三角形中，以点M为圆心，作半径为的圆，圆与三角形截得的三部分， 圆心角都为，故该球的球面与侧面的交线长度为截面圆周长的， 即为. 故选：A. 【点睛】 关键点睛：本题为空间几何体交线问题，找到球面与正四棱锥的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属于中档题. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，球的半径为,则正四面体表面与球面的交线的总长度为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先考查一个面的交线长度，然后求解所有交线的长度即可. 【详解】 考查正四面体的一个平面与球相交的截面如图所示， 由题意结合几何关系可知：， 球心到截面的距离：， 则，， 据此可得截面对应的弧长为：， 则四面体的一个面截球面的弧长为：， 则正四面体表面与球面的交线的总长度为. 故选A. 【点睛】 本题主要考查正四面体的外接球，四面体与球的几何关系，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．（2022·四川成都·模拟预测（理））如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD＝3，E为线段BD中点，将△ABC沿AD折成大小为的二面角，连接BC，形成四面体C－ABD，若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（       ） A．点P落在三棱锥E－ABC内部的概率为 B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为 C．若点在平面上，且满足PA＝2PD，则点P的轨迹长度为 D．若点在平面上，且满足PA＝2PD，则线段长度为定值 【答案】D 【解析】 【分析】 对于A,求出三棱锥和三棱锥的体积之间的关系，根据几何概型的概率公式即可判断；对于B，根据面面平行的相关知识确定轨迹，即可求得其长度；对于C,建立平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程，确定在面ADC内的轨迹，即可求得轨迹长度；对于D，结合题意以及C的分析，可知DP不是定值，从而不是定值，即可判断. 【详解】 如图所示，由题意可知底面BCD, 由于E为线段BD中点， 故 , 故P落在三棱锥内部的概率为 ,故A正确； 若直线PE与平面ABC没有交点，则P点在过点E和平面ABC平行的平面上， 如图所示，设CD的中点为F,AD的中点为G,连接EF,FG,EG, 则平面EFG平面 ABC, 则点P的轨迹与平面ADC的交线即为GF, 由于△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，故 , 则 ,故B正确； 若点P在平面ACD上，且满足，以D为原点，DC,DA为x,y轴建立平面直角坐标系，如图， 则 ,设 ，则 ， 即，故P点在平面ADC上的轨迹即为该圆被平面ADC截得的圆弧 （如图示），由可得，则, 则点P的轨迹长度为,故C正确； 由题意