第10讲 立体几何装液体问题-2023年新高考数学立体几何压轴小题专题突破（新高考专用）

第10讲 立体几何装液体问题 一、单选题 1．（2022·全国·高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（       ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】 根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N到底面B的距离，再由边长关系可得四边形是平行四边形，从而侧面与桌面所转化成侧面与平面所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值. 【详解】 由题意知，水的体积为，如图所示， 设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于 由题意知，水的体积为 ，即， 在平面内，过点作交于， 则四边形是平行四边形，且 又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角,其平面角为, 在直角三角形中，. 故选：D. 【点睛】 本题考查了利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角. 2．（2022·全国·高一课时练习）一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（       ） 　　 A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用两个容器中的水的体积相等，即可得到水面的高度. 【详解】 因为分别为所在棱的中点， 所以棱柱的体积 设甲中水面的高度为 h，则，解得， 故选：D. 3．（2022·湖北宜昌·一模（文））已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱容器，如图1，为正三角形，，，里面装有体积为的液体，现将该棱柱绕旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（       ） ①液面刚好同时经过，，三点； ②当平面与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为； ③当液面与水平桌面的距离为时，与液面所成角的正弦值为. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 ①若液面刚好同时经过,,三点,则液体的体积为四棱锥,进而求解即可；②当平面与液面成直二面角时,即为图2的位置,画出图形,可先求得液面上方的三棱柱以四边形为底面的高,再与直三棱柱以四边形为底面的高求差即可；③由①可得此时液面与水平桌面的距离为,画出图形,即可求解. 【详解】 ①若液面刚好同时经过,,三点,则液体的体积为四棱锥, 因为,所以①正确； ②当平面与液面成直二面角时,即为图2的位置,设液面与直三棱柱的交点为,如图所示, 因为直三棱柱的体积为, 所以直棱柱的体积为, 所以,即,则在中边上的高为, 因为在中边上的高为,所以液面与水平桌面的距离为,所以②正确； ③当液面刚好同时经过,,三点时,如图所示, 此时,则, 易得,则中边上的高为, 所以, 设点到平面的距离为,则,即, 即液面与水平桌面的距离为, 由棱柱的对称性可得点到平面的距离为,设与液面所成角为, 则,所以③正确, 所以①②③正确, 故选:D 【点睛】 本题考查三棱柱的体积,考查线面夹角,考查点到平面的距离,考查转化思想和空间想象能力. 4．（2022·全国·高一课时练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 考虑在正方体的截面中最大两个互相平行的三角形截面，若液面与此面平行时，必在这两个面之间，由此可得结论． 【详解】 解：如图，正方体，若要使液面形状不可能为三角形，则当平面平行于水平面放置时，液面必须高于平面，且低于平面.若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形.设液体的体积为，则，而，，所以液体的体积的取值范围为. 故选：B. 【点睛】 本题考查正方体的截面的性质，掌握正方体的截面形状是解题关键．本题考查空间想象能力． 5．（2022·全国·高一课时练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意可知，若要使液面的形状都不可能为三角形，则液体的体积应大于三棱锥的体积，小于多面体的体积.求解即可. 【详解】 如图正方体，连接. 若要使液面的形状都不可能为三角形 则液体的体积应大于三棱锥的体积，小于多面体的体积. 设液体的体积为，则. 因为，. 所以液体的体积的取值范围为. 故选：D 【点睛】 本题考查求几何体体积问题.属于中档题. 6．（2