第4讲 体积、面积、周长、角度、距离定值问题-2023年新高考数学立体几何压轴小题专题突破（新高考专用）

第4讲 体积、面积、周长、角度、距离定值问题 一、单选题 1．（2022·浙江省江山中学模拟预测）如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题： ①异面直线与直线所成角的大小为定值； ②二面角的大小为定值； ③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为； ④若R是线段上一动点，则直线与直线不可能平行． 其中真命题有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正方体的性质，结合空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项判断正误. 【详解】 解：对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面, 故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确； 对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，②正确； 对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过点做，，,此时，的值最小. 由题可知，,, ， 则，， 故,又， 故的最小值为，故③正确. 对于④，在正方体中易证平面，设，则即为二面角的平面角，又正方体边长为1，故，则,由余弦定理得，故，同理, 故在上必然存在一点，使得二面角为，即平面平面，平面与平面的交线为， 则，过点作的垂线.此时平面，又平面，故.故④错误. 故选：C. 2．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知正方体为对角线上一点（不与点重合），过点作垂直于直线的平面，平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论不正确的是（       ） A．只可能为三角形或六边形 B．平面与平面的夹角为定值 C．当且仅当为对角线中点时，的周长最大 D．当且仅当为对角线中点时，的面积最大 【答案】C 【解析】 【分析】 在正方体中，体对角线与其不相交的面对角线都垂直，作出几个截面可确定其形状，周长及面积大小，通过法向量的关系可确定二面角的大小，从而判断各选型对错. 【详解】 如下图，在正方体中，体对角线与平面，平面，平面都垂直，由图可知，在平面运动过程中只可能为三角形或六边形，故A正确；由题可知平面与都垂直，所以平面在移动过程中都是平行平面，与平面的夹角为定值，故B正确；如下图，当为对角线中点时，为正六边形，而三角形为等边三角形，根据中位线定理，可得两个截面周长相等，故C错误；由图可得，当为对角线中点时，为正六边形，设边长，面积为，当向下刚开始移动时，为六边形，结合图形可知两邻边一条增大，一条减小且变化量相等，设，而且所有六边形的高都相等且等于，两邻边夹角都为，则六边形梯形，当为三角形时面积最大为，所以当且仅当为对角线中点时，的面积最大，故D正确. 故选：C. 3．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（       ） A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为 C．为定值 D．不确定，与，的位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】 通过顶点转换，确定三棱锥的底和高的变化情况，即可确定答案. 【详解】 如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值. 平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，. 故选：C. 4．（2022·山西运城·模拟预测（文））如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，点P，Q分别为的中点，G在侧面上运动，且满足G∥平面，以下命题错误的是（　　） A． B．多面体的体积为定值 C．侧面上存在点G，使得 D．直线与直线BC所成的角可能为 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】 对A：连接，作图如下： 因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线， 故可得，则，故A正确； 对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变， 故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值， 故三棱锥的体积为定值，故B正确； 对C：取的中点分别为，连接，作图如下： 容易知在△中，//，又//，， 面面，故面//面， 又G在侧面上运动，且满足G∥平面，故的轨迹即为线段; 又因为为正方体，故面面，故， 则当与重合时，，故C正确； 对D：因为//，故直线与所成角即为直线与所成角，即， 在中，， 故，而当直线与直线BC所成的角为时， ，故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误. 故选：D. 【点睛】 本题考查立体几何中的动点轨迹的问题，以及线线垂直、线面垂直、异面直线夹角、棱锥体积的求解，属综合困难题；解决问题的关键是把握动点的轨迹，熟练的应用垂直关系之间的转化. 5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体中，过对角线的