第5讲 体积、面积、周长、距离最值与范围问题-2023年新高考数学立体几何压轴小题专题突破（新高考专用）

第5讲 体积、面积、周长、距离最值与范围问题 一、单选题 1．（2022·江西南昌·三模（理））已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，判断得的轨迹为抛物线一部分，建立平面直角坐标系，写出直线和抛物线段的方程，由题意，计算点到线段的最短距离，再由等体积法计算三棱锥最小体积. 【详解】 如图，作平面，垂足为，再作，垂足为， 连接，由题意可知，，所以， 由抛物线定义可知，的轨迹为抛物线一部分，所以的轨迹为抛物线一部分， 当点到线段距离最短时，三角形面积最小，三棱锥体积最小， 建立如图所示直角坐标系，则直线的方程为， 抛物线的方程为，， 由题意，，得，代入，得， 所以点的坐标为，所以到直线的最短距离为 ，因为， 所以， 所以三棱锥体积的最小值为. 故选：C 【点睛】 求解本题的关键是能判断出点的轨迹为抛物线一部分，再建立平面直角坐标系，求解到直线的最短距离，利用等体积法求解三棱锥的最小体积. 2．（2022·浙江·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断为的重心，再利用重心得到，求出，进而得到，借助基本不等式求出最小值即可. 【详解】 过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面.由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为. 故选：A. 【点睛】 本题关键点在于由为的重心得到这一结论，再用表示出要求的体积，最后借助基本不等式得到最值. 3．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论： ①线段的长度为；                           ②点到面的距离范围为； ③周长的最小值为；             ④的余弦值的取值范围为． 其中正确结论的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 作平面，垂足为，取中点，利用长度关系可求得，利用勾股定理可知①正确；在上取点，使得，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，可表示出，利用点到平面距离的向量求法可表示出，令，可得，由此确定②正确；将等边三角形与沿展开，可知，由此可知③正确；设为中点，若点在线段上，设，利用余弦定理表示出，可知当时，；当时，，结合二次函数最值的求法可求得的范围，知④正确. 【详解】 四面体所有棱长均为，四面体为正四面体； 对于①，作平面，垂足为， 四面体为正四面体，为的中心，且； 取中点，连接，则，且平面； ，，； 平面，平面，，，①正确； 对于②，在上取点，使得，则，， 则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设，， ，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ， 点到平面的距离， 令，则，， ，，即点到平面的距离的取值范围为，②正确； 对于③，将等边三角形与沿展开，可得展开图如下图所示， 则（当且仅当为中点时取等号）， 四边形为菱形，分别为中点，， ， 则在四面体中，周长的最小值为，③正确； 对于④，设为中点，若点在线段上，设，则，其中， 在中，； 在中，同理可得：， ； 当时，； 当时，，， ，； 的取值范围为； 同理可得：当在线段上时，的取值范围为； 综上所述：的余弦值的取值范围为，④正确. 故选：D. 4．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（       ） A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为 C．为定值 D．不确定，与，的位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】 通过顶点转换，确定三棱锥的底和高的变化情况，即可确定答案. 【详解】 如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值. 平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，. 故选：C. 5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知某正四棱锥的体积是，该几何体的表面积最小值是，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是，则和的值分别是（       ） A．3； B．4