第1讲 空间几何体的截面图形-2023年新高考数学立体几何压轴小题专题突破（新高考专用）

第1讲 空间几何体的截面图形 一、单选题 1．（2022·浙江·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断为的重心，再利用重心得到，求出，进而得到，借助基本不等式求出最小值即可. 【详解】 过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面.由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为. 故选：A. 【点睛】 本题关键点在于由为的重心得到这一结论，再用表示出要求的体积，最后借助基本不等式得到最值. 2．（2022·浙江·高三专题练习）在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．可能值为 D．当取值最大时， 【答案】C 【解析】 【分析】 对选项A，先找到二面角的平面角，再根据边角关系证明与全等，然后根据直线垂直并平分线段即可判断；对选项B，找到角的关系和，然后分别运用正切的两角差公式解得即可；对选项C和D，均是先根据运用正切的两角差公式，然后通过换元得到一个一元二次方程，然后根据判别式即可判断. 【详解】 如图所示，连接延长交与，连接延长交与，设平面平面 顶点P在底面的射影为的垂心，平面，平面平面 则有：直线与平行 又，则 平面，则 又 则平面 从而 故为与平面的二面角，即 同理可得： 对选项A，，又，则有： 可得：与全等，则 又根据是的垂心，则， 综上可得：直线垂直并平分线段 可得：，故选项A正确； 对选项B，易知有如下角关系： 又，则有： 可得： 解得： 则，故选项B正确； 对选项C，若，则有： 则有： 化简后可得： 令，则有： 则有：，此时方程无解，故选项C错误； 对选项D，设（），则有： 可化简为： 令，则有： 则有： 解得： 故取得最大值时，，此时 同理可得： 故，且 则有：，故选项D正确； 故选：C 【点睛】 二面角的问题，常见的有两种方法：一是通过二面角的定义作二面角的平面角；二是通过空间向量的方法，这两种方法需要灵活选择，如果选择不当，则很可能会大大增加计算量，本题不宜采用空间向量法 3．（2022·全国·高三专题练习（文））正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（　　） A．2+2 B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案. 【详解】 如图，在正三棱柱中，延长AF与CC1的延长线交于M，连接EM交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面. 过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：， 在中，，则， 在中，，则， 在中，，则， 在中，， 由余弦定理：，则， 所以截面周长为：. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查几何体的截面问题，其中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质作出几何体的截面是问题的关键，平常注意方法的总结和归纳. 4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是（       ） ①点的轨迹长度为； ②线段的轨迹与平面的交线为圆弧； ③的最小值为； ④过、、作正方体的截面，则该截面的周长为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 对于①，根据圆的定义得到轨迹，并且①中要注意点在平面上，而非正方形上；对于②，圆锥的斜截面与侧面的交线不是圆的一部分就可以判断；对于③，实质是要计算①中的圆心到直线的距离；对于④，要先作出截面，然后再计算周长. 【详解】 设的中点为，则点的轨迹是平面上以为圆心，以2为半径的圆，所以点的轨迹长度为，故①错误； 连接，易知线段的轨迹是圆锥的侧面，而平面与轴不垂直，所以线段的轨迹与平面的交线不是圆弧，故②错误； 以的中点为原点，分别以水平向右、垂直平分为轴、轴建立平面直角坐标系，则所在的直线方程为，则点到直线的距离为，所以的最小值为，故③正确； 如下图，过作正方体的截面，为五边形，其中为的靠近的三等分点，为的靠近的四等分点. 可计算得， ， 所以该截面的周长为，故④错误. 故选：D. 【点睛