第2讲 空间几何体运动轨迹与长度问题-2023年新高考数学立体几何压轴小题专题突破（新高考专用）

第2讲 空间几何体运动轨迹与长度问题 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是（       ） ①点的轨迹长度为； ②线段的轨迹与平面的交线为圆弧； ③的最小值为； ④过、、作正方体的截面，则该截面的周长为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 对于①，根据圆的定义得到轨迹，并且①中要注意点在平面上，而非正方形上；对于②，圆锥的斜截面与侧面的交线不是圆的一部分就可以判断；对于③，实质是要计算①中的圆心到直线的距离；对于④，要先作出截面，然后再计算周长. 【详解】 设的中点为，则点的轨迹是平面上以为圆心，以2为半径的圆，所以点的轨迹长度为，故①错误； 连接，易知线段的轨迹是圆锥的侧面，而平面与轴不垂直，所以线段的轨迹与平面的交线不是圆弧，故②错误； 以的中点为原点，分别以水平向右、垂直平分为轴、轴建立平面直角坐标系，则所在的直线方程为，则点到直线的距离为，所以的最小值为，故③正确； 如下图，过作正方体的截面，为五边形，其中为的靠近的三等分点，为的靠近的四等分点. 可计算得， ， 所以该截面的周长为，故④错误. 故选：D. 【点睛】 关键点睛：本题一是要注意点在平面上，而非正方形上，二是要正确的作出过的截面. 2．（2022·江西·模拟预测（理））已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 连接、、，，连接BE交于O，证明平面得DO⊥OP，求出OP长度，确定O的位置，确定P的轨迹形状，从而可求P的轨迹长度． 【详解】 连接、、， 则，，， ∴⊥平面，∴， 同理，∴平面． 设，连接BE交于O， 由△BOD∽△且BD=可知OD=，则， 连接OP，则，∴， 可得点P的轨迹为以点O为圆心，为半径的圆在内部及其边界上的部分， OB=2OE，E为中点，及△为等边三角形可知O为△中心， OE=，如图： ，，， 则∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥， 故四边形是菱形，则 ∴的长度为，故点P的轨迹长度为． 故选：A． 3．（2022·河南河南·三模（理））已知正四棱柱，，，点为点的中点，点为上底面上的动点，下列四个结论中正确的个数为（       ） ①当且点位于上底面的中心时，四棱柱外接球的表面积为； ②当时，存在点满足； ③当时，存在唯一的点满足； ④当时，满足的点的轨迹长度为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据外接球的概念，作图计算出外接球半径，然后求解，可判断①；然后建空间直角坐标系，得到，，，为上底面上的动点，可设，且，进而对②③④各个选项进行计算验证即可判断并得到答案. 【详解】 对于①，如图，在中找到面的中心点，为球心，在线段上，因为四边形为正方形，所以，，且，则设外接球半径为，则，则在中，可得，解得，所以，四棱柱外接球的表面积为，①正确； 由于，如图，建系可得，，，，为上底面上的动点，可设，且， 对于②，因为，,, ，且 ，因为， 所以，，所以，，得， 所以，必有存在点满足是错误的，所以，②错误； 对于③，则，，因为 ，明显可见，时，，此时，，所以，当时，存在唯一的点满足，③正确； 对于④，，，若，则有 ，化简得， 又因为，所以，点的轨迹长度为，④正确； 故正确的有：①③④ 故选：C 4．（2022·四川泸州·三模（理））已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为3，体积为24，若该三棱锥的外接球O的半径为5，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（       ） A．6π B．30π C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用三棱锥的体积，求解底边边长，求出的外接圆半径， 以及球心到底面的距离，判断顶点的轨迹是两个不同截面圆的圆周， 进而求解周长即可． 【详解】 依题意得，设底面等腰直角三角形的边长为， 三棱锥的体积 解得： 的外接圆半径为 球心到底面的距离为 ， 又顶点P到底面ABC的距离为3， 顶点的轨迹是一个截面圆的圆周 当球心在底面和截面圆之间时， 球心到该截面圆的距离为， 截面圆的半径为， 顶点P的轨迹长度为； 当球心在底面和截面圆同一侧时， 球心到该截面圆的距离为， 截面圆的半径为， 顶点P的轨迹长度为； 综上所述，顶点P的轨迹的总长度为 故选：D． 【点睛】 本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查 空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度． 5．（2022·重庆·模拟预测）已知棱长为3的正四面体，是空间内的任一动点，且满足，E为AD中点，过点D的平面平面BCE，则平面截动点P的轨迹所形成的