第02讲 充要条件与量词-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第02讲 充要条件与量词 【基础知识网络图】 四种命题、充要条件 充要条件 四种命题及其关系 互为逆否关系的命题等价 充分、必要、充要、既不充分也不必要 简易逻辑 逻辑联结词词 简单命题与复合命题 全称量词、存在量词 或、且、非 【基础知识全通关】 一、命题 能判断真假的语句叫做命题． 二、复合命题的真假 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。 三、全称命题与特称命题 1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“”表示。 2、全称命题：含有全称量词的命题。其结构一般为： 3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“”表示。 4、特称命题：含有存在量词的命题。其结构一般为： 四、全称命题与特称命题的否定 1、命题的否定和命题的否命题的区别 命题的否定 ，即，指对命题的结论的否定。 命题的否命题，指的是对命题的条件和结论的同时否定。 2、全称命题的否定 全称命题： 全称命题的否定（）： 特称命题 特称命题的否定 所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。 五、常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有（）个 小于 不小于 至多有个 至少有（）个 对所有， 成立 存在某， 不成立 或 且 对任何， 不成立 存在某， 成立 且 或 六．量词 (1)全称量词与全称命题 ①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词． ②全称命题：含有全称量词的命题． ③全称命题的符号表示： 形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)． (2)存在量词与特称命题 ①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词． ②特称命题：含有存在量词的命题． ③特称命题的符号表示： 形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)． (3)命题的否定 ①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． ②否定结论：对原命题的结论进行否定． 【注】原命题与命题的否定真假性相反 七、充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件； (2)如果q⇒p，则p是q的必要条件； (3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件． 【注】集合中，子集可以推出另一个集合. 【考点研习一点通】 考点01：四种命题及其关系 例1. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。 【解析】逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题； 否命题：已知是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题； 逆否命题：已知是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。 【点评】 1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略； 2. 互为逆否命题的两个命题同真假； 3. 注意区分命题的否定和否命题. 考点02：全称命题与特称命题真假的判断 2. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假. （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】 (1)由于都有，故，为真命题； ：，为假命题 (2) 因为不存在一个实数，使成立，为假命题； ：，为真命题. (3)因为只有或满足方程，为假命题； ：，为真命题. (4) 由于使成立的数有，且它们是有理数，为真命题； ：，为假命题. 【点评】 1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题. 考点03：判定复合命题的真假 3.分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． (1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根； (2)若ab＝0，则a＝0或b＝0； (3)若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零． 【解析】 (1)逆命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题． 否命题：若q≥1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题． 逆否命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命