第06讲 空间向量及其运算 -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019选择性必修一）

第06讲 空间向量及其运算 【学习目标】 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置． 2.借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式 3.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念 4.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程 【基础知识】 一、空间向量的有关概念 1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量. 2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 3.表示法 (1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示; (2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模. 若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或. 【解读】 1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空 间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的 相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习; 2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相 对应的概念完全相同; 3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来 解决; 4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性. 二、空间向量的线性运算 【解读】 利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识. 三、向量共线定理 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb . 四、共面向量定理 1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. 2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一 的有序实数对(x,y),使p=xa 【解读】 1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行. 2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A,B,C,可通过 证明下列结论来证明三点共线: (1)存在实数λ,使成立; (2)对空间任一点O,有(t∈R); (3)对空间任一点O,有(x+y=1). 五、空间向量的数量积及运算律 1.数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 2.空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【解读】 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并结合运算律进行计算. (2)利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代 入数量积公式进行运算. 2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入向量的数量积公式进行运算求解. 3.求空间两个向量的夹角的方法 (1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围; (2)先求a·b,再利用公式求cos〈a,b〉,最后确定〈a,b〉. 4.求两条异面直线所成的角的步骤 (1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量); (2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题; (3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值; (4)异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量的数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加 上绝对值,进而求出异面直线所成的角的大小. 【考点剖析】 考点一：对空间向量有关概念的理解 例1．下列说法正确的是（       ） A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量