第11讲 直线的方程 -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第11讲 直线的方程 【学习目标】 1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式，两点式及一般式） 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标 【基础知识】 一、直线的点斜式方程 1.直线的点斜式方程 点斜式 已知条件 点P0(x0,y0)和斜率k     图示   方程形式   y-y0=k(x-x0)     适用条件 　斜率存在     2.点斜式方程的应用 (1)经过点P0(x0,y0),且斜率不存在的直线不能用点斜式方程表示,其方程为x=x0. (2)经过点P0(x0,y0),且斜率为0的直线能用点斜式方程表示,其方程为y=y0. (3)过定点P0(x0,y0)的直线系方程:我们可设直线的方程为y-y0=k(x-x0),由于过点P0(x0,y0)且与x 轴垂直的直线不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直线系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中没有直线x=x0. 二、直线的斜截式方程 1.把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距    (1)直线l在y轴上的截距,就是直线l与y轴交点的纵坐标   . (2)直线l在y轴上的截距存在,等价于直线l的斜率存在. 2.直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的　截距    b 图示   方程形式   y=kx+b     适用条件 　斜率存在     3.斜截式方程的应用 (1)斜率为k的直线系方程:若直线的斜率存在,则可设直线的方程为y=kx+b,当b取不同值时, 这个方程表示斜率为k的直线系方程. (2)对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2. l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2⇔k1k2=-1. 4.截距不是距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数和 零,而距离是一个非负数. 三、直线的两点式方程 1.直线的两点式方程 名称 已知条件 图形 方程 适用条件 两点式 直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)   直线不垂直于x轴 和y轴 2.对直线的两点式方程的理解 (1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线. (2)直线的两点式方程也可以写成(y-y2)(x1- x2)=(x-x2)(y1-y2)的形式,则可表示任意的直线,但不再称其为直线的两点式方程. 3.写直线的两点式方程的步骤 (1)已知直线上的两点,首先判断直线是否垂直于坐标轴. (2)若直线垂直于坐标轴,则直接写出方程. (3)若直线不垂直于坐标轴,则可根据两点式求出直线的方程. 4.运用直线的两点式方程时的注意事项 (1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条 件:两点的连线不垂直于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程. (2)由于减法是有序的,所以用两点式求直线方程时常因字母或数字的顺序错位而导致错误. 四、直线的截距式方程 1.直线的截距式方程 名称 已知条件 图形 方程 适用条件 截距式 在x,y轴上的截距 分别为a,b,且a≠0, b≠0   直线不垂直于x轴 和y轴,且不过原点 2.对直线的截距式方程的理解 (1)若直线与x轴相交于点(a,0),则称a为直线在x轴上的截距,也称横截距;若直线与y轴相交 于点(0,b),则称b为直线在y轴上的截距,也称纵截距. (3)在方程中,要求a、b存在,且a≠0,b≠0,即两个截距存在且都不为0,因此它不能表 示过坐标原点和垂直于x轴、y轴的直线. 3.运用直线的截距式方程时的注意事项 题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,若采用截距式求直线的方程,一定要注意考虑“零截距”的情况. 五、直线的一般式方程 1.概念 在平面直角坐标系中,任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示出来,每一 个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线,我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程 ,简称一般式. 2.在Ax+By+C=0中,若B=0,A≠0,则x= ,它表示一条与y轴平行或重合的直线;若A=0,B≠0, 则y=,它表示一条与x轴平行或重合的直线. 3.直线方程的五种形式的比较 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0) (x0,y0)是直线上一定点, k是斜率 不垂直于x轴的