预习第03讲 空间向量基本定理 2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 空间向量基本定理 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 空间向量基本定理的理解 【题型二】 基底表示空间向量 【题型三】 空间向量基本定理的应用 角度1 求线段长度 角度2 求角度 角度3 综合运用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解空间向量基本定理； 2.掌握基底法用不共线的两个向量表示第三个向量； 3.能够应用空间向量基本定理处理一些简单的立体几何问题. 【题型一】 空间向量基本定理的理解 相关知识点讲解 1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 2基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【典题1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式练习 1 （24-25高二上·吉林长春·期末）若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 2（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【题型二】 基底表示空间向量 【典题1】（24-25高二下·福建·期中）如图，在三棱锥中，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 2（2026届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考（高二）数学试卷）在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 4（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【题型三】 空间向量基本定理的应用 角度1 求线段长度 【典题1】（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（2023高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（    ） A．a B．a C．a D．a 2（24-25高二上·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 角度2 求角度 【典题1】（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 变式练习 1 （2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 角度3 综合运用 【典题1】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【典题2】（2022高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 变式练习 1（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 2（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 3（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 5（2022高二上·全国·专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 【A组---基础题】 1（24-25高二上·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 3（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 4（23-24高一下·吉林延边·阶段练习）平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二上·吉林·阶段练习）在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6（22-23高二上·浙江·期中）如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 7（24-25高二上·上海·课后作业）已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值． 8（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·重庆·期中）在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（   ）      A． B． C． D． 3（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量基本定理 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 空间向量基本定理的理解 【题型二】 基底表示空间向量 【题型三】 空间向量基本定理的应用 角度1 求线段长度 角度2 求角度 角度3 综合运用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解空间向量基本定理； 2.掌握基底法用不共线的两个向量表示第三个向量； 3.能够应用空间向量基本定理处理一些简单的立体几何问题. 【题型一】 空间向量基本定理的理解 相关知识点讲解 1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 2基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【典题1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 变式练习 1 （24-25高二上·吉林长春·期末）若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一判断选项中的向量是否与共面即可，如果不共面就符合题意. 【详解】由题意知，不共面，对于选项A，，故共面，排除A； 对于选项B，，故共面，排除B； 对于选项D，由选项A得，，故共面，排除D． 对于C，，向量，而不与共面，故C正确. 故选：C. 2（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 【题型二】 基底表示空间向量 【典题1】（24-25高二下·福建·期中）如图，在三棱锥中，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： . 故选：C. 变式练习 1（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用空间向量对应线段的位置及数量关系，结合向量加减、数乘的几何意义用表示即可. 【详解】. 故选：A 2（2026届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考（高二）数学试卷）在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的基底，结合几何图形表示出. 【详解】在直三棱柱中，. 故选：A 3（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算得，则得到其和值. 【详解】因为，， 则 ， 所以，故. 故选：D. 4（24-25高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 【题型三】 空间向量基本定理的应用 角度1 求线段长度 【典题1】（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，利用共面定理，即可求解得解. 【详解】在平行六面体中，取，，， ，，， ，， 而， 则 ，即， 设，则， 由于与共面， 故存在实数，使得 ， 故，解得，故， 故选：A. 变式练习 1（2023高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（    ） A．a B．a C．a D．a 【答案】A 【分析】根据空间向量的基本定理，用，，表示，将线段长度问题转换为向量模长问题. 【详解】设，，，则构成空间的一个正交基底. ， 故，所以MN＝a. 故选：A 2（24-25高二上·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 角度2 求角度 【典题1】（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 变式练习 1 （2024·山西晋中·三模）已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积和运算律求出的值，再分别求出两向量的模，最后利用夹角公式即可. 【详解】记，则， ， 则， ， ， 设直线与所成的角为则 ， 所以 故选：C. 2（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得； （2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 角度3 综合运用 【典题1】（24-25高二上·上海·课后作业）如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有 ， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 【典题2】（2022高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面； （3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案. 【详解】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 变式练习 1（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【详解】因为底面是边长为1的正方形，底面 底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 2（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【详解】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故， 解得.即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故选：C. 3（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共面向量的基本定理得出，利用空间向量的减法可得出，设，利用空间向量的线性运算得出，进而可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为、、、四点共面，且、不共线， 则存在、，使得， 即， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故， 故选：C. 4（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 5（2022高二上·全国·专题练习）已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 【答案】证明见解析 【分析】设，由空间向量的运算证明，. 【详解】证明：设 则 ， ， ， ， ， 又 ，同理可证， 这个四面体相对的棱两两垂直. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】根据空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能构成空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于C选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于D选项，假设、、共面， 则存在、使得， 由于为空间的一组基底，则，该方程组无解， 故假设不成立，即、、不共面， 所以，、、可以作为空间的一组基底. 故选：D. 2（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用表示求出参数，即可得答案. 【详解】由， 所以，故. 故选：D 3（2025·上海奉贤·二模）如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【答案】B 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有 ，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 4（23-24高一下·吉林延边·阶段练习）平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表达出，两边平方后，利用空间向量数量积运算法则得到，从而求出模长. 【详解】由题意得， 故 ， 故. 故选：A 5（23-24高二上·吉林·阶段练习）在三棱台中，，，的重心为，的中点为，与相交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，通过三角形重心的性质得出为的中点，结合已知即可得出,再通过三棱台的性质得出，则，即可将分解为，即可利用向量模的求法结合已知得出答案. 【详解】如图，延长交于点， 的重心为， 为在边上的中线，即为的中点， 三棱台中， ， ,, ， 三棱台中，面 面，且面分别交面，面于，， ， ，则， 得， 所以. 故选：D. 6（22-23高二上·浙江·期中）如图，空间四边形中，，，，点分别在上，且，．    (1)以为一组基底表示向量； (2)求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质，由展开计算即可. 【详解】（1）， ．    （2）， 所以， 所以 ， 所以. 7（24-25高二上·上海·课后作业）已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值． 【答案】/ 【分析】根据空间向量基本定理设，由，得①，设，则，代入①式，得，结合已知可求得的范围，从而得a的范围. 【详解】设， 则 ， 又， ， ， 设，则， 所以，即． 由题设可得，故且， 故， 解得，故． 当且仅当，时等号成立． 故的最大值为． 8（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即得； （2）分别求得，利用向量数量积的运算律求得，再利用空间向量的夹角公式计算即得结果. 【详解】（1）由图知， . （2）由题意， 由（1） ， 所以当时有最小值即有最小值； 此时，， 故， 且， 设与的夹角为，则. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 2（24-25高二上·重庆·期中）在三棱锥中，为的重心，，，，其中，，若交平面于点，且，则的取值范围为（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用四点共面定理可知，若四点共面，则可用表示，且系数和为1，通过条件表示向量，可得的关系，代入计算可得结果. 【详解】连结并延长交于，因为为重心，则为中点， ， ， 四点共面，则，即， 因为，所以，解得：， ，，， 即， 故选：A    【点睛】知识点点睛：若四点共面，且面外一点，则可用表示且系数和为1. 3（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解； （2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值. 【详解】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 【点睛】空间向量解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题，可将几何问题转化为代数问题，化繁为简，可大大节省思考量. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$