几何综合-2020-2021学年四川省成都市八年级下学期期末复习

八年级下期末复习——几何综合 1．（2020-2021成都实验外国语八年级（下）期末·20）（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB上和AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF、CE、CF，G为EF的中点，连接BG． （1）若CE＝2，求FE的长； （2）连接AC，求证：BG垂直平分AC； （3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB上和AD的延长线上，且BE＝DF，连接EF，G为EF的中点，连接BG、CG，过F作FH∥DC交CB的延长线于H，那么（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由． 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，根据全等三角形的性质得到CE＝CF，推出△ECF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； （2）连接AG，CG，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝EF，证得AG＝CG，根据全等三角形的性质得到∠ABG＝∠CBG，即可得到结论； （3）延长AG交FH于M，连接CM，根据平行线的性质得到∠AEG＝∠GFM，根据全等三角形的性质得到AG＝GM，MF＝AE，根据平行四边形的性质得到AB＝HF，通过△BAG≌△BCG，得到∠ABG＝∠CBG，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠CDF＝90°， 在△CBF与△CDF中，， ∴CE＝CF， ∴∠BCE＝∠DCF， ∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+ECD， ∴∠BCD＝∠ECF＝90°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF＝CE＝2， （2）如图1，连接AG，CG， ∵△ECF是等腰直角三角形，G是EF的中点， ∴CG＝EF， ∵AG＝EF， ∴AG＝CG， 在△BAG与△BCG中，， ∴△BAG≌△BCG，∠ABG＝∠CBG， ∵BA＝BC， ∴BG⊥AC，OA＝OC， ∴BG垂直平分AC； （3）成立，理由：如图2，延长AG交FH于M，连接CM， ∵AE∥FH， ∴∠AEG＝∠GFM， 在△AEG与△MFG中，， ∴△AGE≌△MFG， ∴AG＝GM，MF＝AE， ∵FH∥AB，AF∥AE， ∴四边形ABHF是平行四边形， ∴AB＝HF， ∴BE＝HM， ∵BE＝DF＝CH， ∴CH＝HM， ∴∠MCH＝∠BCA，∠ABC+∠H＝180°， ∴∠BAC+∠BCA+∠MCH+∠HMC＝180°， 即2∠BCA+2∠HCM＝180°， ∴∠BCA+∠HCM＝90°， ∴∠ACM＝90°， 在Rt△ACM中，AG＝GM， ∴CG＝AM＝AG， 在Rt△BAG与Rt△BCG中，， ∴△BAG≌△BCG， ∴∠ABG＝∠CBG， ∵BA＝BC， ∴BG⊥AC，AO＝CO， ∴BG垂直平分AC． 【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确的做法辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2020-2021成华区八年级（下）期末·20）（10分）已知是的中线，是线段上一点（不与点重合）．过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，连结． （1）【模型研究】如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形； （2）【模型推广】如图2，当点不与重合时，四边形还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）【模型应用】若是边长为4的等边三角形，点是的中点（如图，请直接写出的长． 【考点】四边形综合题 【专题】多边形与平行四边形；几何直观 【分析】（1）在中利用中位线性质定理，再利用三角形全等判定平行四边形． （2）延长交于点，再证与三角形全等即可， （3）利用等腰三角形的三线合一，垂直，再构造直角三角形，分段求出的长． 【解答】解：（1）设与交于点，如图， ， 在中，为中点，， 为中位线， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）延长交于点，如图， ， 在中，为中点，， 为中位线， 为中点， ， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． （3）过点作，如图， ， 为等边三角形，为中点， ， 在中，，， ， 点为中点， ， ， 由（2）可知四边形为平行四边， ， 在中，，， ， ． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定，根据题目建立的模型，寻找可以判定四边是平行四边形的条件，在本题中关键是利用三角形的全等的方法判定四边形是平行四边形，第三问考查等边三角形，需要借助等腰三角形的三线合一，关键是将隐藏条件挖掘出来，再构造直角三角形利用勾股定理进行解题，除了上述方法，还可以借助和全等求解． 3．（2020-2021高新区八年级（下）期末·20）（10分）在学习了图形的旋转知识后，