函数综合-2020-2021学年四川省成都市八年级下学期期末复习

八年级下期末复习——函数综合 1．（2020-2021成都七中嘉祥外国语学校八年级（下）期末·28）（12分）如图在平面直角坐标系内，点A与C的坐标分别为（4，8），（0，5），过点A作AB⊥x轴于点B，过OB上的动点D作直线y＝kx+b平行于AC，与AB相交于点E，连接CD，过点E作直线EF∥CD，交AC于点F． （1）求经过点A，C两点的直线解析式； （2）当点D在OB上移动时，能否使四边形CDEF成为矩形？若能，求出此时k、b的值；若不能，请说明理由； （3）如果将直线AC作向下平移，交y轴于点C′，交AB于点A′，连接DC′，过点E作EF′∥DC′，交A′C′于点F′，那么能否使四边形C′DEF′成为正方形？若能，请求出此时正方形的面积；若不能，请说明理由． 【分析】（1）由已知A、C两点坐标，用待定系数求出解析式； （2）D在OB上移动，设出D点坐标，根据矩形性质CD⊥DE，从而有一个斜率关系，代入可求出D点坐标，从而求出直线DE； （3）在第二问的基础上继续延伸，使其成正方形，要求C′D＝DE就可以了，列出方程解出直线DE解析式，再求出边长就解决问题了． 【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∵A（4，8），C（0，5）， ∴， 解得k＝，b＝5， ∴直线AC的解析式为：y﹣5＝x，即y＝x+5； （2）如图1，设D（m，0）， ∵，DE∥AC，AC⊥CD， ∴k＝，kCD＝﹣， 又C（0，5），D（m，0）， ∴， ∴m＝， ∴点D（，0）代入y＝x+b， ∴b＝﹣； （3）如图2，假设存在这样的正方形则由题意：将直线AC作向下平移， 则可设直线AC的解析式为：y＝x+5+c， ∵A′C′∥DE， ∴k＝直线DE的解析式为：y＝x+b， 令y＝0，得x＝b， 设D（b，0），C′（0，5+c）， 又∵E点横坐标为4， ∴E（4，3+b）， 则OD＝﹣b，BD＝4+b，BE＝3+b，OC′＝5+c， ∵由题意使四边形C′DEF′成为正方形， ∴DO＝BE，OC′＝DB， 则， 解得： ∴边长为＝， ∴正方形的面积S＝． 【点评】此题考查一次函数基本性质，待定系数求解析式，简单的几何关系，但实质考查计算能力，解方程组．第三问探讨存在性问题，间接考查了正方形的性质． 2．（2020-2021成都十八中八年级（下）期末·28）（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，3），一次函数y＝﹣x+b的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD＝BE．点M是直线DE上的一个动点． （1）求b的值； （2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标； （3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，直接写出N的坐标． 【分析】（1）根据矩形的性质，用b表示E点坐标，待定系数法可解； （2）求出四边形OAED的面积，分两种情况求△ODM的面积； （3）以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论，分别以OD，OM，DM为对角线，分别求出N点坐标． 【解答】解：（1）当x＝0时，代入y＝﹣x+b得，y＝b，D点坐标（0，b），OD＝b， ∵OD＝BE， ∴BE＝b， 点E的坐标为（2，3﹣b），代入y＝﹣x+b得：3﹣b＝﹣1+b， 解得：b＝2； （2）∵S四边形OAED＝＝＝3， 三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，设点M的横坐标为m， ①当点M在线段DE上时， S△ODM＝，则m＝， 解得m＝，代入y＝﹣+2得，y＝，此时点M（，）， ②当点M在线段ED的延长线上时， S△ODB＝，则＝， 解得m＝﹣，代入y＝﹣+2得，y＝，此时点M（﹣，）， ∴M（，）或（﹣，）； （3）①当OD为菱形对角线时，如图，点M的纵坐标是1， 当y＝1时，代入y＝﹣+2得，x＝2， 则点M的坐标是（2，1）， ∵四边形OMDN是菱形， ∴点M，N关于y轴对称， ∴点N的坐标为（﹣2，1）； ②当OM为菱形对角线时，如图，则DM＝DO＝2， 设M（m，﹣m+2），由两点间距离公式可得， ∴（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝22， 解得：m＝或m＝﹣， ∴M（﹣，+2）或M（，﹣+2）， ∵MN＝OD＝2， ∴N（﹣，）或N（，﹣）； ③当DM为菱形对角线时，如图，则MO＝DO＝2， 同理：（m﹣0）2+（﹣m+2）2＝22， 解得：m＝0（舍去）或m＝， ∴M（，）， ∵MN＝OD＝2， ∴N（，）， 综上所述：点N的坐标为（﹣2，1）或（，）或（﹣，﹣）或（，）． 【点评】本题是一次函数的综合题目，考查矩形的性质，菱形的性质，四边形的面积等知识，解题关键是掌握菱形的性质进行分类讨论，并且能够利用一次函数图象上