专题1.1 集合（知识点讲解）- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试（新教材·新高考）

专题1.1 集合 【知识框架】 【核心素养】 1.考查集合的概念、元素的性质，凸显数学抽象的核心素养. 2.考查集合的基本关系，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养. 3.与不等式、数轴、Venn图等相结合考查集合的运算，凸显数学运算、直观想象的核心素养. 【知识点展示】 1.元素与集合 （1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． （2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法． （4）五个特定的集合及其关系图： N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 2.集合间的基本关系 (1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A. (2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A. 特别提醒: 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. 2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 4. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 【常考题型剖析】 题型一 集合的基本概念 例1.(2018课标II理2)已知集合，则中元素的个数为 （ ） A．9 B．8 C．5 D．4 【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略 (1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件. (2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性. (3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别. 例2.（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知集合则集合的元素个数为（       ） A．6 B．7 C．8 D．9 【规律方法】 与集合元素有关问题的思路： （1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件． （3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性 题型二：集合间的基本关系 例3.（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）集合的非空真子集的个数为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 例4.（2012·湖北省高考真题（文））已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧】 (1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法． (2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集． (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题． 题型三：集合的基本运算 例5.（2022·全国·高考真题（文））设集合，则（       ） A． B． C． D． 例6．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合，则（       ） A． B． C． D． 例7．（2022·全国·高考真题（理））设全集，集合M满足，则（       ） A． B． C． D． 例8.（2020·全国高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【规律方法】 如何解集合运算问题 (1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键. (2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决. (3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和