第4讲 三角恒等变换 讲义-2023届高考数学一轮复习

第4讲 三角恒等变换 一、思维导图： 请同学们根据思维导图回忆本讲的知识点： 二、知识梳理： 1. 角的概念的推广 (1) 定义：角可以看成平面内一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2) 分类 (3) 终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． (4) 象限角的集合： 2. 弧度制的定义和公式 (1) 定义：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2) 公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 l＝ 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3. 任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)． 4. 三角函数的符号规律 例1．（2020.全国理（新课标Ⅱ））若α为第四象限角，则（ ） A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 5.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tan_α． 例2．（“1”的代换）（2016.全国）若 ，则 A． B． C． D． 6.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 例3．（2019.全国文（新课标Ⅰ））tan255°=( ) A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 7.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β,(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β,(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β,(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β,(S(α＋β)) tan(α－β)＝,(T(α－β)) tan(α＋β)＝,(T(α＋β)) 例4．（2017.全国文（新课标1卷））已知，tanα=2，则=______________． 例5．（2018.全国文（全国卷II））已知，则__________． 8.二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α,(S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α,(C2α) 例6．（2021.全国乙（文））（ ） A． B． C． D． tan 2α＝．(T2α) 9.辅助角公式 角的终边过点. 例7．（2017.全国文（新课标2））函数的最大值为__________. 三、巩固练习： 1.（2022·新高考Ⅱ） 角满足，则（ ） A. B. C. D. 2．（2021.全国新高考Ⅰ）若，则（ ） A． B． C． D． 3．（2021.全国甲（理））若，则（ ） A． B． C． D． 4．（2020.全国理（新课标Ⅲ））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ） A．–2 B．–1 C．1 D．2 5．（2020.全国文（新课标Ⅲ））已知，则（ ） A． B． C． D． 6．（2020.全国理（新课标Ⅰ））已知，且，则（ ） A． B． C． D． 7．（2019.全国理（新课标Ⅱ））已知 ∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A． B． C． D． 8．（2017.全国文（新课标3））已知，则． A． B． C． D． 9．（2016.全国理）若，则 A． B． C． D． 10．（2015.全国）若 ，则 A． B． C．1 D． 11．（2014.全国理（新课标Ⅰ））设且则（ ） A． B． C． D． 12．（2020.全国文（新课标Ⅱ））若，则__________． 13．（2018.全国）已知，，则__________． 14．（2013.全国文（新课标1卷））设当时，函数取得最大值，则______. 15.（2022·浙江） 若，则__________，_________． 学科网（北京）股