专题20 解三角形-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题20 解三角形 【考点预测】 知识点一：基本定理公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 知识点二：相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，. ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列. 知识点三：实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 【方法技巧与总结】 1.方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 【题型归纳目录】 题型一：正弦定理的应用 题型二：余弦定理的应用 题型三：判断三角形的形状 题型四：正、余弦定理与的综合 题型五：解三角形的实际应用 题型六：倍角关系 题型七：三角形解的个数 题型八：三角形中的面积与周长问题 【典例例题】 题型一：正弦定理的应用 例1．（2022·浙江·镇海中学高三开学考试）在中，，，则外接圆的半径为（       ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】 【分析】 直接使用正弦定理进行求解即可. 【详解】 设R为外接圆的半径，故，解得． 故选：A． 例2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积． (1)求角B的大小； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）首先利用正弦定理面积公式和余弦定理化简已知条件得到，即可得到答案. （2）首先利用正弦定理边化角公式得到，化简得到，再求其正弦值即可. (1) 因为， 所以，. 又因为，所以. (2) 因为，所以， 即， 所以，. 因为，， 所以，即. . 例3．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. (1) 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； (2) 由正弦定理得：，则，则，. 例4．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，角C为钝角，. (1)求的值； (2)求边c的长. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）由求导，利用求得，， 再由两角差的正弦展开式可得答案； （2）利用正弦定理和可得答案. (1) 因为C为钝角，由，则， 则， C为钝角可得为锐角， 所以，， 可得. (2) 由（1）可知：，则，， 则， 正弦定理：，， 可得：. 例5．（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）在中，内角的对边分别为，，，已知． (1)若，求的值； (2)若，的面积为，求边，的值． 【答案】(1) (2)，或， 【解析】 【分析】 （1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，根据求得,进而由二倍角公式及和差角公式可求的值； （2）由已知结合三角形面积公式及余弦定理可求得答案. (1) 因为， 由正弦定理得， 即，