1.1.1 绝对值(培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接

第1.1章 数与式 1.1.1 绝对值 初中要求 借助数轴理解绝对值的意义，掌握求绝对值的方法，知道的含义（这里表示有理数） 高中要求 1 理解绝对值的几何意义； 2 会求含绝对值的方程与不等式； 3 理解含绝对值的函数. 1.概念 在数轴上，一个数所对的点与原点的距离叫做该数的绝对值. 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 【例】是的三边，化简. 解析 . 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 【例】数轴上点对应的数是，点对应的数是，那线段 (用表示). 解析 . (在数轴上的对应点之间的距离为) 2.性质 (1)，， ； (2)或； (3)，； (4)三角不等式：，当且仅当同号或其中一个为时取等号. 3.不等式 的解集是． 的解集是．(从几何的角度思考) 【例】不等式的解集是 . 解 或. 从几何的角度，表示与对应点的距离大于，画数轴易得或， 故不等式的解集是或. (这是集合的一种表示方法，形式如) 【题型一】 解含绝对值的方程 【典题1】解方程：. 解析 方法1 代数法 当时，方程可化为，解得； (注意解要检验是否符合前提) 当时，方程可化为，解得； 综上，原方程的解为或. 方法2 几何法 表示与对应的点之间的距离为，如图易得或. 点拨 1 代数方法是利用去掉绝对值，得到解要检验； 2 在数轴上的对应点之间的距离为，则方程从几何的角度看即与对应的点之间的距离为. 【典题2】解方程：. 解析 方法1 代数法 当时，方程化为，解得，符合条件； (注意解要检验是否符合前提) 当时，方程化为，无解； 当时，方程化为，解得，符合条件； 综上，原方程的解为或. 方法2 几何法 表示与、对应的点之间距离和为，如下图，1到距离，则到 、对应的点距离为，即或，故方程的解是或. 点拨 1 代数法中如何分类的呢？令的解，它是取正值或负值的分解值； 的解，它是取正值或负值的分解值；那在数轴上标出和，将数轴 分成三段:，则对分这三种情况讨论即可，这方法角“数轴标根法”.这基本步骤是：找零点、分区间、定正负、去符号. 2 根据绝对值的几何意义可知能表示到表示的点之间的距离之和，几何法要结合数轴进行分析. 变式练习 1.方程的解的个数是 个. 答案 无数 解析 当时，方程化为，解得，符合； 当时，方程化为，该方程有无数个解； 故方程的解是，有无数个. 2.解方程：. 答案 或 解析 当时，方程可化为，解得； 当时，方程可化为，解得； 综上，原方程的解为或. 3.解方程：. 答案 或 解析 当时，方程化为，解得，符合条件； 当时，方程化为，解得，不满足，舍去； 当时，方程化为，解得，符合条件； 综上，原方程的解为或. 【题型二】 解含绝对值的不等式 解与解的思路基本一致，可采取分类讨论去掉绝对值符号的代数法或几何法. 【典题1】 解不等式. 解析 方法1 代数法 当时，则不等式可化为，解得，又，； 当时，则不等式可化为，解得，又，； (此处解题过程采取或这一格式，更好理解些) 综上，可得不等式的解集是. 方法2 几何法 表示与对应点的距离小于，而与到的距离均为，如下图可知可在到之间取值，即不等式的解集是. 【典题2】解不等式. 解析 两边平方得，， 化简得，解得， 故不等式的解集是. 点拨 由也可去掉绝对值符号，故本题不用分类讨论而采取两边平方也是可以的. 【典题3】解不等式. 解析 方法1 不等式可化为或，解得或， 故不等式的解集是. 方法2 不等式可化为，解得， 故不等式的解集是. 点拨 不等式与不等式是同解的； 不等式与不等式或是同解的. 【典题4】不等式组恰好有个正整数解，求的取值范围. 解析 解不等式得，画数轴可知在与之间，两个不等式才有个正整数解，的取值范围是. 点拨 思考下本题中，为什么能取到不能取到呢？若把题中改为，又如何呢？对于这些题需要注意“边界点”能否取到. 变式练习 1.不等式的解集是 . 答案 解析 或或， 故不等式的解集是 从几何的角度，如下图也可得. 2.若关于的不等式的解集是，则的值是 ． 答案 解析 ， 由于解集是，所以. 3.解关于的不等式： 答案 解析 原不等式可化为下面两个不等式组来解 或 不等式组(Ⅰ)的解为 不等式组(Ⅱ)的解为 原不等式的解集为. 4. 答案 解析 不等式可化为 不等式①等价于，解得 不等式②等价于，解得， 故不等式的解集是. 【题型三】 含绝对值的函数 对于自变量不同的取值范围有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数. 比如狄利克雷函数函数等. 【典题1】 求的最小值. 解析 方法1 分段函数图像