1.1.3 因式分解 (培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接

第1.1章 数与式 1.1.3 因式分解 初中要求 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）. 高中要求 掌握因式分解的方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等. 1.乘法公式 平方差公式 ； 完全平方公式 ； 立方和公式 ； 立方差公式 ； 三数和平方公式 . 2.因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式分解因式. 因式分解的常用方法：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，待定系数法和因式定理法. 无特殊说明，一般只要求在有理数的范围内分解到不能再分解为止. 比如，在有理数范围内因式分解的结果是， 若在实数范围内因式分解的结果是. 【方法一】 提公因式法和公式法 因式分解，先确定每项是否存在公因式，若有先提公因式；公式法，指的是利用平方差公式、完全平方公式、立方和差公式等进行因式分解. 【典题1】 分解因式：(1)； (2) 解析 (1)原式； (2)原式. 变式练习 1.分解因式：(1)； (2). 答案 ； 解析 (1)； (2) . 【方法二】 十字相乘法 【典题1】 把下列各式因式分解： (1) ；(2) ；(3) . 解析 (1) 将分解为写在左列，将分解为写在右列，交叉相乘、相加，得到，不是一次项不适合；再将分解为写在左列，将分解为写在右列，交叉相乘、相加，得到，等于一次项，适合，即十字相乘因式分解成功. 不合适 合适 即； (2) 将原式按的降幂排列，视其为关于的二次三项式， 视为常数.将分解为写在左列，将分解为写在右列，交叉相乘、相加，得到，不是一次项不适合；再将分解为写在左列，将分解为写在右列，交叉相乘、相加，得到，等于一次项，适合，即十字相乘因式分解成功. 不合适 合适 即. (3) 将原式按的降幂排列，视其为关于的二次三项式，视为常数，再十字相乘. . 点拨 1.第(1)题也可用“求根法”，令，用一元二次方程求根公式可解得，则.第(2)(3)题你试试看; 2.用十字相乘法时，要多尝试；若式子有两个变量，则选其一为“主元”，令一变量视为常数. 变式练习 1.把下列各式因式分解： (1) ； (2)； (3) ； (4) . 解析 (1)， ； (2) ； (3) ； (4) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，当作分解二次三项式． 则. 【方法三】 分组分解法 把多项式分成几组分别因式分解，若每组有一相同因式，便可提公因式达到因式分解，这种方式叫做分组分解法. 【典题1】因式分解 解析 --- (分组) --- (组内因式分解) . --- (提公因式) 点拨 分组分解的方式是不唯一的，也可以 . 变式练习 1.分解因式：(1)； (2) ； (3) . 答案 解析 (1)； (2) ； (3) . 2.如果的三边满足，试判断的 形状. 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 因为， 所以， 即， ， 所以， 因此是等腰三角形或直角三角形. 【方法四】 添项与拆项法 因式分解中，用公式法有时总感觉缺一项或数字不对，分组分解时或少一项或多一项分不出来，这些烦恼有时可用添项与拆项法处理. 【典题1】 因式分解. 解析 方法1 (将二次项拆项) (分组分解) ； 方法2 (将一次项拆项) (分组分解) ； 方法3 (将常数项拆项) (分组分解) . 变式练习 1.因式分解 答案 解析 方法1 原式 ； 方法2 ； 方法3 ； 方法4 . 2.因式分解 答案 解析 . 【方法五】 待定系数法 【典题1】 因式分解 解析 方法1 因为， 所以可设 ， 则 比较系数可得，解得，满足整个方程组， 所以. 方法2 因为， 所以可设 ， 由于恒等式，可取任何实数值， 令，得；令得； 解得， 所以. 【典题2】 因式分解 解析 设 所以 比较系数得，由①②解得，且它满足③， (所求必须满足整个方程组) 所以 点拨 1.思考：为什么这样设呢？ 若设.由待定系数法解题知关于与的方程组无解.那设为呢？ 2.待定系数法需要有一定的数感. 变式练习 1.因式分解 答案 解析 因为 设 即 比较多项式两边同类项的系数可得，解得, 故. 2.因式分解. 答案 解析 设， 所以， 比较系数