课后巩固(七)用空间向量研究夹角问题（word练习）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

[对应学生用书P98] 1．已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． C　[因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)， 所以cos 〈s1，s2〉＝＝＝－. 又两直线夹角的取值范围为， 所以l1和l2夹角的余弦值为.] 2．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． A　[设CB＝1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)， 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(　　) A． B． C． D． B　[建系如图，设正方体棱长为1，则A1(1，0，1)，E(1，，0)，F(0，，1)，B1(1，1，1). 设平面A1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 设A1B1与平面A1EF的夹角为θ， 即所求线面角的正弦值为.] 4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° B　[以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2， 则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1). ∴cos θ＝＝.∴EF和BC1所成角为60°.] 5．(多选题)(2019·辽宁丹东高二期末)正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　) A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为 B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为 C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 BC　[取A1C1中点E，AC中点F，A1B1中点K，并连接EF，EB1，C1K，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直， 则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系； 设AB＝2，则AA1＝2. ∴A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A(0，－1，2)，C(0，1，2)，B1(，0，0). ∴＝(0，2，－2).底面ABC的其中一个法向量为m＝(0，0，2)， ∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为＝＝＝，∴A错B对． ∵A1B1的中点K的坐标为(，－，0)， ∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为KC1＝， ∴AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为|＝＝， 故C对D错．故选B、C.] 6．(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AB与CD所成的角为60° C．△ADC为等边三角形 D．AB与平面BCD所成的角为60° ABC　[A中，如图取BD中点O，连接AO，CO， 易知BD垂直于平面AOC，故BD⊥AC，故A正确． B中，如图建立空间直角坐标系，设正方形边长为a， 则A(a，0，0)，B(0，－a，0)，C(0，0，a)， D(0，a，0)， 故＝(－a，－a，0)，＝(0，a，－a)， 由两向量夹角公式得cos 〈，〉＝－， 故两异面直线所成的角为，故B正确． C中，在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a解得AC＝AO＝a，所以三角形ADC为等边三角形，故C正确． D中，易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故D错误．] 7．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当平面PEC与平面ABCD的夹角为时，AE等于(　　) A．1 B． C．2－ D．2－ D　[以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 设AE＝m. 有D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(1，m，0)，C(0，2，0)， 可取平面ABCD的一个法向量n1＝(0，0，1)， 设平面PEC的一个法向量为n2＝(a，b，c)， 则又＝(0，2，－1)，＝(1，m－2，0)， ∴∴令b＝1得n2＝(2－m，1，2). |cos 〈n1，n2〉|＝＝ ＝＝. ∴m＝2－或m＝2＋(舍去).即AE＝2－.] 8．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________． 　[依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1，0，0)，M，C