第3讲 平面向量——2023届新高考数学一轮复习讲义

第3讲 平面向量 一、知识梳理： 1. 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量，其方向是任意的 记做0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0向量与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两个向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2. 向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1) 交换律： a＋b＝b＋a； (2) 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2) 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 例1.（2022·新高考Ⅰ） 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 3. 共线向量定理：向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb(b≠0)．向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得__ _． 4. 两个重要结论 (1) 若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋). (2) 若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，且点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. 例2．（2018.全国理（新课标I））在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 6. 平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足 ，我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底． 7. 向量的坐标运算 (1) 向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝. 例3.（2022·全国乙（文）） 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (2) 向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝ 8. 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a，b共线⇔ . 例4．（2021.全国乙（文））已知向量，若，则_________． 9. 数量积 (1). 向量的夹角：已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，那么∠AOB称为向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是 ． (2). 平面向量的数量积：已知两个非零向量a，b，θ为a，b的夹角，那么数量|a||b|cosθ叫做向量a，b的数量积，记做a·b. (3). 平面向量数量积的性质 ① 若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cosθ(θ为a，e的夹角)； ② a⊥b⇔a·b＝0； ③ 当向量a，b同向时，a·b＝|a||b|，当向量a，b反向时，a·b＝ ，特别地，a·a＝|a|2，|a|＝； ④ cosθ＝(θ为a，b的夹角)； ⑤ |a·b|≤ . 例5.（2022·全国乙（理）） 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 例6.（2022·全国甲（理）） 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． (4). 平面向量数量积的运算律 ① 交换律：a·b＝b·a；②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c； ③ 对任意的λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． (5). 平面向量数量积有关性质的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(θ为a，b的夹角)，则： ① a·b＝ ；② a⊥b⇔ ； ③ |a|＝ ；④ cosθ＝＝. 例7.（2022·全国甲（文）） 已知向量．若，则______________． 例8．（2021.全国乙（理））已知向量，若，则__________． 例9．（2022·新高考Ⅱ） 已知，若，则（