第14讲 抛物线-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第14讲 抛物线 【学习目标】 1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程. 2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【基础知识】 知识点一：抛物线的定义 定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点诠释: （1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值 （2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线. （3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化. 知识点二：抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ，，，。 知识点诠释： ①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程； ②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下） ③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。 知识点三：抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程的几何性质 范围：，， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点诠释： （1）与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线； （2）标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 【考点剖析】 考点一：抛物线的定义 例1．（多选题）方程表示的曲线不可能为（       ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 【答案】BCD 【解析】 根据抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的　焦点，直线l叫做抛物线的准线． 【详解】 解:设P(x，y)，由方程得， 点P到点F(2，2)的距离等于点P到直线3x-4y-6=0的距离， 又点F不在直线3x-4y-6=0上， 由抛物线的定义得，曲线为抛物线. 故选：BCD 考点二：抛物线的标准方程 例2．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（       ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求得直线与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可. 【详解】 解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3）， 当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为， 当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为， 故选：B 考点三：抛物线的几何性质 例3．已知抛物线的焦点轴上，抛物线上的点到焦点的距离等于，求抛物线的标准方程和的值． 【答案】 ， 【解析】 【分析】 根据题意可设抛物线的标准方程为，利用抛物线的定义可求得的值，可得出抛物线的标准方程，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求得的值. 【详解】 解：因为点在轴左侧，则抛物线的开口方向朝左， 设抛物线的标准