第11讲 圆与圆的位置关系-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第11讲 圆与圆的位置关系 【学习目标】 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系； 2．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想. 【基础知识】 知识点一：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系： (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含. 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法. 3.两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【考点剖析】 考点一：判断圆与圆的位置关系 例1．圆与圆的位置关系为___________. 【答案】相交 【解析】 【分析】 根据圆与圆的位置关系，求出圆心距和半径之间的关系即可得解. 【详解】 的圆心为，半径， 的圆心为， 所以圆心距， 可得， 所以和相交. 故答案为：相交 考点二：求两圆的交点 例2．若一个圆经过点及圆与圆的交点，求此圆的方程． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出圆与圆的交点坐标，进而设出圆的一般方程，代入点的坐标，用待定系数法进行求解. 【详解】 联立与，解得：或，即两圆交点坐标为与，设圆的方程为：，将点坐标代入得：，解得：，所以此圆的方程为：. 考点三：由圆的位置关系确定参数 例3．已知圆和两点、，若圆上存在点，使得，则的最小值为（       ） A．1 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 【分析】 由题知点在圆上，又在圆上，再根据两个圆的位置关系求解即可. 【详解】 解：由得点在圆上， 所以，点在圆上，又在圆上， 所以，两圆有交点， 因为圆的圆心为原点，半径为，圆的圆心为，半径为. 所以，，即 所以，的最小值为. 故选：D 考点四：求两圆的公共弦方程 例4．圆与圆公共弦所在直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 将两圆的方程作差即可得到答案. 【详解】 将两圆的方程相减得到两个圆公共弦所在直线方程为 故选：D. 考点五：求两圆的公共弦长 例5．已知圆，，则这两圆的公共弦长为（       ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】 【分析】 圆方程相减得到公共弦方程，计算圆心到直线的距离，计算弦长得到答案. 【详解】 由题意知，， 将两圆的方程相减得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为. 又因为圆：，圆心为，半径， 所以圆的圆心到直线的距离. 所以这两圆的公共弦的弦长为. 故选：C. 考点六：圆的公切线条数 例6．1．已知两圆方程分别为和．则两圆的公切线有（       ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】 【分析】 得出两圆的位置关系后判断 【详解】 两圆的圆心分别为和，半径分别为2和3，圆心距，则两圆外切，公切线有3条． 故选：C 考点七：圆的公切线方程 例7．已知两圆，，则两圆的位置关系为___________，两圆的公切线方程为___________.（用一般式表示） 【答案】     内切     【解析】 【分析】 求出两圆的圆心和半径，比较圆心距和半径之和、半径之差的关系即可判断两圆的位置关系， 设公切线方程为：，根据两圆圆心所在直线斜率可得公切线的斜率的值，再由圆心到公切线的距离等于半径求出的值即可求解. 【详解】 由圆可得圆心，半径， 由可得， 可得圆心，半径， 因为圆心距，，所以， 所以两圆的位置关系为内切， 设公切线方程为：， 由题意可得， 因为两圆圆心所在直线垂直于公切线， 且，所以代入可得， 经检验不满足，所以，