第10讲 直线与圆的位置关系-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第10讲 直线与圆的位置关系 【学习目标】 1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 【基础知识】 知识点一：直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系： (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： (1)代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点. 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离. (2)几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离. 知识点诠释： (1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得. (2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理. (3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 知识点二：圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是. 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【考点剖析】 考点一：不含参数的直线与圆的位置关系 例1．直线与圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】B 【解析】 【分析】 求得圆心到直线的距离和半径之间的关系，进行判断即可． 【详解】 圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切． 故选：B 考点二：含参数的直线与圆的位置关系 例2．圆与直线的位置关系为（       ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算出直线恒过定点，而点在圆内，所以圆与直线相交. 【详解】 直线可化为，所以恒过定点. 把代入，有：， 所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交. 故选：C 考点三：由直线与圆的位置关系求参数 例3．若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可 【详解】 直线过定点 ，      曲线为以 为圆心，1为半径，且位于 轴上半部分的半圆，如图所示 当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 . 当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离 ，解得 结合图像可知，当 时，直线 和曲线 恰有两个交点 故选：B 考点四：求直线与圆的交点坐标 例4．已知直线与圆相交于，两点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 联立直线与圆的方程求A、B的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求. 【详解】 由题意，联立，有，解得，， ∴若，则，则. 故选：C. 考点五：求过圆上一点的切线方程 例5．已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 首先判断出点在圆上，然后求出圆心和切点连线的斜率，进而得到切线的斜率，最后求出答案. 【详解】 因为，所以点在圆上，则，切线斜率，于是切线方程为. 故选：A. 考点六： 求过圆外一点的切线方程 例6．过点作圆的切线，则切线的方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 【分析】 设切线的方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可. 【详解】 圆的圆心为原点，半径为1， 当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切， 当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即 所以，解得或 所以切线的方程为或 故选：C 考点七：求切线长 例7．