第09讲 圆的方程-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第09讲 圆的方程 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【基础知识】 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径. 知识点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： (2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 (1)若点在圆上 (2)若点在圆外 (3)若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径. 知识点诠释： 由方程得 (1)当时，方程只有实数解.它表示一个点. (2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据已知条件，建立关于或的方程组. (3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【考点剖析】 考点一：圆的标准方程 例1．某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据圆的平面几何性质可知圆心在的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求出半径即可得解. 【详解】 因为圆经过两点， 所以圆心在中垂线上， 联立解得圆心，所以圆的半径， 故所求圆的方程为， 故选：D 考点二：圆的一般方程 例2．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 利用待定系数法进行求解即可. 【详解】 设圆的一般方程为， 因为，，在这个圆上， 所以有， 故选：B 考点三：点与圆的位置关系 例3．已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 【详解】 由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A 考点四： 二元二次曲线与圆的关系 例4．若曲线表示圆，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 按照圆的一般方程满足的条件求解即可. 【详解】 或. 故选：C. 考点五：圆过定点 例5．点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（          ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】 【分析】 设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】 设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 考点六：轨迹问题 例6．已知圆的圆心在直线上，且过和两点. (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）假设圆心坐标，利用可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆方程； （2）设，根据，由即可得到所求的轨迹方程. (1) 设圆心，则， 即，解得：， ，又圆心，圆的标准方程为； (2) 为弦中点，，即， 设，则，， ， 即点的轨迹方程为：. 【真