第08讲 平面上的距离-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第08讲 平面上的距离 【学习目标】 1.掌握两点间距离公式，中点公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【基础知识】 知识点一：中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则， ，则此公式为线段的中点坐标公式． 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为 . 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等. 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 知识点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的以后，才能使用此公式. 【考点剖析】 考点一：中点公式 例1．经过点的直线l被两条直线和所截得的线段恰被点A平分，求直线l的方程． 【答案】 【解析】 【分析】 首先判断直线的斜率存在，设直线，分别联立方程组可得、坐标，由中点公式可得的方程，解出，代入直线方程即可． 【详解】 当直线l的斜率不存在时，直线方程为，两交点为，不满足所截得的线段恰好被点P平分， 当直线l的斜率存在时，设直线且， 联立方程组可得，， 同理联立方程组可得，， 由中点坐标公式得，解得， 直线的方程为． 考点二：两点距离公式 例2．过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 【分析】 当直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离相等求解即可. 【详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为，，到它的距离分别为1，3，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，到它的距离相等 得，解得或，即直线方程为或. 故选：C. 考点三：由顶点判断三角形的形状 例3．1．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（       ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】C 【解析】 【分析】 计算出，由此确定三角形的形状. 【详解】 ， ， ， ， 所以三角形是直角三角形. 故选：C 考点四：由两点距离公式求最值 例4．已知点､，点P在x轴上，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据对称性，找出关于x轴的对称点，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】 因为关于x轴的对称点，则 ,所以的最小值为. 故答案为： 考点五：点线距离公式 例5．点（-1，1）到直线的距离为（       ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 由点到直线的距离公式即可得答案. 【详解】 解：点到直线的距离为， 故选：A. 考点六：面积问题 例6．直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求出直线与x轴的交点M坐标，直线与y轴的交点N坐标，及直线和的交点P坐标，则可求和由两点式可得直线MN的方程为，即可求P点到直线MN的距离，即可求 【详解】 直线与x轴的交点为，直线与y轴的交点为， 则． 如图所示： 则由两点式可得直线MN的方程为，即， 由解得， 此为两直线的交点， 根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为 ， 故 ． 故选：B 考点七：由点线距离求参数 例7．已知两点到直线的距离相等，则（       ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【解析】 【分析】 利用点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】 因为两点到直线的距离相等， 所以有，或， 故选：D 考点八：点关于直线对称 例8．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设点，进而得，再解方程即可得答案. 【详解】 解：设点，因为点与点关于直线对称， 所以，解得， 所以 故选：B 考点九：