第07讲 两条直线的交点-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第07讲 两条直线的交点 【学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 【基础知识】 知识点一、直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 【考点剖析】 考点一：求直线的交点 例1．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解． 【详解】 由解得，故两直线交点为(－1，2)， 故直线方程是：，即． 故选：A． 考点二：由方程组解的个数判断直线的位置关系 例2．是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（       ） A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解 C．存在，使是方程组的一组解 D．存在，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】 【分析】 由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】 由题意，则， ∵直线的斜率存在，∴，，∴方程组总有唯一解．A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则，则点在直线，即上，但已知这两个在直线上，这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误． 故选：B． 考点三：由直线交点的个数求参数 例3．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（       ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】 由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 考点四：由直线交点坐标求参数 例4．若直线与直线交点在第一象限，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由知两线平行，则，联立直线方程求交点坐标，根据所在的象限求参数k的范围即可. 【详解】 当时，，与平行，不合题意， ∴. 由题设，，解得， ∴或. 故选：C 考点五：三线能否围成三角形问题 例5．下面三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 分三条直线交于一点、至少两条直线平行或重合，两种情况讨论即可 【详解】 当三条直线交于一点时：由， 解得和的交点A的坐标， 由A在上可得2×－3m×＝4， 解得m＝或. 当至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等， 当时，，即，当时，，解得：， 当时，，不成立， 综上， m＝－1，－，，4时，这三条直线不能组成三角形， ∴实数m的取值集合是. 故答案为：. 考点六：直线交点系方程 例6．经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 【分析】 设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【详解】 解：设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故选：C. 【真题演练】 1．经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求两直线的交点坐标，再设直线方程为，将交点坐标代入方程，即可求出参数的值，即可得解； 【详解】 解：由，解得，所以直线与的交点为，设与直线平行的直线为，所以解得，所以直线方程为； 故选：D 2．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程. 【详解】 依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为， 故选：B 3．直线x+ky=0和2x+3y+8=0的交点为A，且A在直线x-y-1=0上，则k的值是（       ）