第06讲 两条直线的平行与垂直-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第06讲 两条直线的平行与垂直 【学习目标】 1．掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标。 2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别。 3．灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系。 【基础知识】 知识点一：两条直线相交、平行与重合 1．代数方法判断 两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组 的解进行判断(如下表所示) 方程组的解 位置关系 交点个数 代数条件 无解 平行 无交点 A1B2－A2B1＝0而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0或＝≠(A2B2C2≠0) 有唯一解 相交 有一个交点 A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0) 有无数个解 重合 无数个交点 A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0) 2．几何方法判断 (1)若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行。 (2)若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下： 设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， ①l1与l2相交⇔k1≠k2； ②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2； ③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． 简记表： 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 知识点二：两条直线的垂直 1．两条直线垂直的几何方法判断 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 2．两条直线垂直的代数方法判断 已知直线l1，l2的方程分别是l1∶A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0) (1)若A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2 (2)若⇔l1∥l2 【考点剖析】 考点一：由斜率可以判断两条直线是否平行 例1．判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)平行，理由见解析； (2)平行，理由见解析； (3)不平行，理由见解析； (4)平行，理由见解析. 【解析】 【分析】 根据直线的斜率、平行的判定及与数轴的位置关系，结合各直线与数轴的截距判断两直线是否平行即可. (1) 由题设，、的斜率为，又，，即不重合， 所以、平行. (2) 由题设，中、中， 所以，又，，即不重合， 所以、平行. (3) 由题设，、的斜率，且，，即两线重合， 所以、重合. (4) 由题设，、均垂直于x轴，又，，故不重合， 所以、平行. 考点二：两条直线相交、平行、重合的判定 例2．已知直线，直线，求：当m为何值时，直线与分别有如下位置关系：相交、平行、重合． 【答案】答案见详解． 【解析】 【分析】 当时，，，l1与l2相交；当时，两直线的斜截式方程为：，，再利用两条直线的相交、平行、重合的条件即可得出． 【详解】 当时，，，l1与l2相交； 当时，两直线的斜截式方程为：，． ①当时，即m≠3，m≠﹣1且时，两直线相交， ②当，且，即m＝﹣1时，两直线平行． ③当，且，即m＝3时，两直线重合． 综上：当m≠3，m≠﹣1时，两直线相交； 当m＝﹣1时两直线平行； 当m＝3时两直线重合． 考点三：两条直线垂直的判定 例3．判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 (3)垂直，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）分别求出两条直线的斜率，根据斜率之积即可得出结论； （2）分别求出两条直线的斜率，根据斜率之积即可得出结论； （3）易得轴，轴，即可得出结论. (1) 解：设两条直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以； (2) 设两条直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以； (3) 解：由两个方程，可知轴，轴，所以． 考点四：直线平行与垂直的综合应用 例4．已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状． 【答案】直角梯形 【解析】 【分析】 计算四条边所在直线的斜率，判断边之间的位置关系，即可判断图形的形状 . 【详解】 由斜率公式，得，，，, 所以，又因为 ,说明与不重合， 所以． 因为，所以与不平行． 又因为，所以． 故四边形为直角梯形． 考点五：两直线的夹角 例5．直线与夹角的余弦值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 分别设的倾斜角为，再根据斜