专题09 立体几何大题证明：平行归类-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)

专题09 立体几何大题证明：平行归类 目录 一、热点题型归纳 1 【题型一】 “平移法”（平行四边形）证明线面平行 1 【题型二】 “拉缩法”（中位线）证明线面平行 6 【题型三】 构造平面法证明线面平行 10 【题型四】 线面平行探索性 13 【题型五】 面面平行 18 【题型六】 面面平行探索性 22 【题型七】 线面平行应用：虚做交线 27 【题型八】 平行综合应用 31 【题型九】 翻折与平行 34 二、最新模考题组练 38 备注：平行专练，大题只分析训练对应“平行”这一问 【题型一】 “平移法”（平行四边形）证明线面平行 基本规律 1.利用平移法做出平行四边形 2.利用中位线做出平行四边形 【例1】如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，点B、C、D在底面圆周上，∥，，，M为线段OD上一点，，A为PC的中点. (1)证明：∥平面POB； (2)求四棱锥的体积. 湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）取BP的中点T，连接OT，TA，利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形为平行四边形，从而得∥，进而利用线面平行的判定理可得结论， （2）取BC的中点E，连接OE，OC，由可得，，则可求出梯形的面积，从而可求出四棱锥的体积 (1) 如图，由已知得. 取BP的中点T，连接OT，TA， 因 为A为PC中点， 所以∥，. 因为∥， 所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面. (2) 因为A为PC的中点，所以A到平面OBCM的距离为. 取BC的中点E，连接OE，OC. 由得，. 由∥得四边形为梯形， 故. 所以四棱锥的体积. 【例2】如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点. (1)求证：//平面 (2)求证：//平面. 江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由线面平行的性质可证得，进而证得平面； （2）取中点，先证四边形为平行四边形，进而证得，即可证得平面. (1) 因为平面，平面，平面平面，所以， 又平面，平面，则平面； (2) 取中点，连接，易得，且，由（1）知且， 则且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面. 【例3】．如图所示，在直三棱柱ABC-，△ABC是边长为4的等边三角形，D、E、F分别为棱、、的中点，点P在棱BC上，且 (1)证明：AP∥平面DCE； (2)求点B到平面APF的距离. 湖北省重点高中智学联盟2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）取BC的中点O，取CD的中点Q，利用中位线可以证得四边形AEQP为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定定理即可； （2）利用等体积法求解点B到平面APF的距离即可. (1) 如图，取BC的中点O，连接DO，取CD的中点Q，连接PQ，EQ. ∵∴.∴. ∵，∴ ∴四边形AEQP为平行四边形，∴ ∵EQ平面DCE，AP平面DCE. ∴AP∥平面. (2) ∴.易得 在△PAF中，由余弦定理.∴ ∴ 设点B到平面APF的距离为d ∵即，∴. 【例4】已知如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，点，分别是棱，上的点，点是上一动点，. (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若，求的长度. 重庆市三峡名校联盟2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）取的中点，连接，，先推出四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理可得平面； （2）根据等体积法和三角形面积公式可求出结果. (1) 取的中点，连接，， 则且， 又∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面，∴平面. (2) 作交于点，则为的中点， ∴平面， ∵是边长为的正三角形，且， ， 而，∴， 又， ∴，. 【题型二】 “拉缩法”（中位线）证明线面平行 基本规律 中位线法难点在于怎么“发现三角形” 【例1】如图所示，在正方体中，为中点. (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积. 福建省三明市四地四校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）连接BD交AC于O，连接OE，即可得到，从而得证； （2）根据正方体的性质及计算可得； (1) 证明：连接BD交AC于O，连接OE，所以OE是的中位线， 所以， 又面，面，所以平面； (2) 解：正方体中，平面， 所以； 【例2】如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点