专题10 立体几何大题：垂直及其应用归类-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)

专题10 立体几何大题：垂直及其应用归类 目录 热点题型归纳 1 【题型一】垂直基础：“三垂线”定理模型与线面垂直 1 【题型二】 面面垂直 6 【题型三】 线线垂直 10 【题型四】 垂直应用1：线面角 13 【题型五】垂直应用2：二面角 17 【题型六】 翻折中的垂直 21 【题型七】 垂直探索型 26 【题型八】垂直应用3：角度综合 31 二最新模考题型 37 【题型一】垂直基础：“三垂线”定理模型与线面垂直 垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。 【例1】已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F. (1)求证A1C⊥平面EBD； (2)求二面角B1—BE—A1的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，则，再证明平面，则，从而即可证明A1C⊥平面EBD； （2）由平面，又，则，进而可得是二面角的平面角，在中，求出，即可在中求出，从而即可得答案. (1) 证明：平面，，又，， 平面，， 又平面，，且，， 平面， ，又， A1C⊥平面EBD； (2) 解：平面，又， 是二面角的平面角， 在中，， 在中，， . 【例2】如图，四棱柱的底面为菱形，，其中侧面为矩形，分别为的中点，在线段上，且满足，过和点的平面交于，交于. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若，且，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3) 【分析】（1）由平面//平面得到两条交线平行即可； （2）通过和证明面即可证明平面； （3）作出四棱锥的高，求出底面面积，利用体积公式计算即可. (1) 四棱柱中，平面//平面， 设过和的平面为，由题可知面，面， // (2) 由（1）得////，连接,为菱形，,为等边三角形，为中点，， 又为矩形，，   分别为中点，所以//，，                   ，面，面 (3) 面 ，由（2）知面，面面，面面， 过做交于，面， 在等边中，，，, ,在中，，，   由（2）得面，面,，四边形的高为，，. 【例3】如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，平面底面ABCD，M是棱PC上的点. (1)证明：底面； (2)若三棱锥的体积是四棱锥体积的，设，试确定的值. 【答案】(1)详见解析； (2). 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，可得平面，然后利用线面垂直的判定定理即证； （2）由题可得，进而可得，即得. (1) ∵，平面底面ABCD， ∴，平面底面ABCD=AD，底面ABCD， ∴平面，平面， ∴PD，又， ∴，， ∴底面； (2) 设，M到底面ABCD的距离为， ∵三棱锥的体积是四棱锥体积的， ∴， 又，， ∴，故，又，所以. 【例4】如图，正方体中，点，分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即证； （2）设，由题可得EF∥GB，再利用线面平行的判定定理可证. (1) 由正方体的性质，可得，平面， ∴，又， ∴平面； (2) 设，连接， 则 ∴， ∴四边形BFEG为平行四边形， ∴EF∥GB，又平面，平面， ∴平面 【题型二】 面面垂直 证明面面垂直的核心思维：寻找其中一个平面的垂线（及其平行线） 【例1】如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°. (1)求证：平面MAP⊥平面SAC. (2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值； 宁夏银川一中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可证BC⊥平面SAC，又PM∥BC，则PM⊥面SAC，从而可证平面MAP⊥平面SAC； （2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，由勾股定理可得，在中，可得，从而在中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值. (1) 证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC， 又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C， ∴BC⊥平面SAC， 又∵P，M是SC、SB的中点， ∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP， ∴平面MAP⊥平面SAC； (2) 解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C， ∴AC⊥平面SBC， ∴AC⊥CM，AC⊥CB