3.9 函数与方程-【2023高考必刷题】2023年高考数学一轮总复习题型归纳+专项练习（新高考专用）

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象. 第三章 函数 3.9 函数与方程 1．函数的零点 (1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 2．函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 题型一. 零点所在的区间 1．已知函数f（x）＝2x+lnx﹣4，则函数f（x）的零点所在区间为（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【解答】解：函数f（x）＝2x+lnx﹣4在（0，+∞）上为增函数， 又因为f（1）＝2﹣4＜0，f（2）＝ln2＞0， ∴函数f（x）在区间（1，2）上有一个零点， 故选：B． 2．若x0是方程（）x的解，则x0属于区间（　　） A．（，1） B．（，） C．（0，） D．（，） 【解答】解：令f（x）＝（）x， 则f（0）＝1﹣0＞0； f（）（）0； f（）0； 故x0属于区间（，）； 故选：D． 题型二.零点的个数 1．函数f（x）＝3x|log0.5x|﹣1的零点个数（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：令f（x）＝3x|log0.5x|﹣1＝0，即|log0.5x|， 令h（x），g（x）＝|log0.5x|， 在同一直角坐标系中，作出函数y＝h（x）和y＝g（x）的图象，如图所示， 由图象可知，函数y＝h（x）和y＝g（x）的图象有两个交点， 所以函数f（x）＝3x|log0.5x|﹣1的零点个数为2个． 故选：C． 2．函数f（x）的零点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：由f（x）＝0，得 或， 解得x＝﹣2或x＝e， 所以f（x）共有两个零点， 故选：B． 3．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ex+x﹣3，则f（x）的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（0）＝0，所以0是函数f（x）的一个零点 当x＞0时，令f（x）＝ex+x﹣3＝0， 则ex＝﹣x+3， 分别画出函数y＝ex，和y＝﹣x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f（x）有一个零点， 又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点． 综上所述，f（x）的零点个数为3个， 故选：C． 4．若偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），在x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则关于x的方程f（x）＝（）x在[0，4]上根的个数是　4　． 【解答】解：因为偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），所以函数f（x）的图象关于y轴对称，同时以2为周期． 根据x∈[0，1]时，f（x）＝x2得该函数在[0，4]上的图象为： 再在同一坐标系中做出函数的图象，如图，当x∈[0，4]时，两函数图象有四个交点． 所以方程f（x）＝（）x在[0，4]上有4个根． 故答案为4． 题型三.已知零点个数求参 1．若函数f（x）＝ex﹣x2+ax﹣1在区间[1，2]内有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（　　） A． B．（﹣∞，2﹣e] C． D． 【解答】解：依题意，在x∈[1，2]上有且仅有一个解， 设，则， 由ex≥x+1（当且仅当x＝0时取等号）可知，当x∈[1，2]时，函数g（x）单调递增， ∴当x∈[1，2]时，， ∴， ∴． 故选：D． 2．若函数f（x）＝logax﹣x+a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，e） D．（e，+∞） 【解答】解：令f（x）＝0，有logax＝x﹣a， ①当a＞1时，函数y＝logax单增，函数y＝x﹣a相当于函数y＝x向下至少移动了1个单位，故函数y＝logax与y＝x﹣a的图象有两个交点； ②当0＜a＜1时，函数y＝logax与y＝x﹣a的图象显然仅有一个交点， 综上，a＞1． 故选：B． 3．已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　） A．[﹣1，0） B．[0，+