第04讲 直线的斜率与倾斜角-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（苏教版2019选择性必修第一册）

第04讲 直线的斜率与倾斜角 【学习目标】 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2．理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜角与斜率的对应关系。 3．掌握过两点的直线的斜率公式。 4．直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用。 【基础知识】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． (2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0°． (3)倾斜角α的范围为[0°，180°)． 2．直线的倾斜角与斜率 一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上l两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： (1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°． (2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°． (3)当x1≠x2且y1≠y2时，tanθ＝． (4)直线的斜率：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率，当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝． (6)斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率(范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 【考点剖析】 考点一：直线倾斜角 例1．直线的倾斜角是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】 求出直线的斜率可得倾斜角． 【详解】 设直线的倾斜角为，斜率为k，由题意得， 即，又，则， 故直线的倾斜角是． 故答案为：. 考点二：直线斜率 例2．设，若直线l经过点､，则直线l的斜率是___________. 【答案】1 【解析】 【分析】 利用直线的斜率公式求解. 【详解】 解：因为直线l经过点､， 所以直线l的斜率是， 故答案为：1 考点三：三点共线 例3．若三点共线，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】 由三点共线得，即可求出答案. 【详解】 由三点共线 故 故答案为：. 4． 考点四：直线倾斜角与斜率的关系 例4．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（       ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 数形结合法，讨论直线过A、B时对应的斜率，进而判断率的范围. 【详解】 如下图示， 当直线过A时，， 当直线过B时，， 由图知：或. 故选：B 【真题演练】 1．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用两点间的坐标公式和直线的斜率的关系求出结果． 【详解】 解：直线过点且斜率为，与连接两点，的线段有公共点， 由图，可知，， 当时，直线与线段有交点． 故选：B． 2．下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为，则； ②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】 根据直线的倾斜角和斜率的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为，则，所以①错误； 对于②中，当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，且； 当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，但，所以②错误； 对于③中，根据直线斜率的概念，可得当且时，直线的斜率为，所以③错误. 故答案为：①②③. 3．斜率为3的直线l过点，，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】 根据经过两点直线斜率计算公式计算即可． 【详解】 斜率为3的直线l过点，， 则﹒ 故答案为：0． 4．若三点、、共线，则实数n的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】 根据、、共线，由斜率相等求解. 【详解】 解：因为三点、、共线， 所以， 解得， 故答案为：0 5．已知过点的直线l与以点，为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围； 【详解】 解：设点，依题意，． 因为直线与线段有交点， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 6．过点的直线与以、为端点的线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】 作出图形，利用斜率公式分别求得，，根据题意得到或，即可求解. 【详解】 如图所示，因为，，， 可得，， 要使得直线与以、为端点的线段有交点， 设直线的倾斜角为，其中，则