专题19 三角函数图象与性质-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题19 三角函数图象与性质 【考点预测】 知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． (2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中) 注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 知识点三：与的图像与性质 （1）最小正周期：. （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A]. （3）最值 假设. ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心. 假设. ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置. （5）单调性. 假设. ①对于， ②对于， （6）平移与伸缩 由函数的图像变换为函数的图像的步骤； 方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形. 方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换. 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少. 【方法技巧与总结】 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为. （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 【题型归纳目录】 题型一：五点作图法 题型二：函数的奇偶性 题型三：函数的周期性 题型四：函数的单调性 题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心） 题型六：函数的定义域、值域（最值） 题型七：三角函数性质的综合 题型八：根据条件确定解析式 方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式. 方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定） 题型九：三角函数图像变换 【典例例题】 题型一：五点作图法 例1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题. (1)化简的表达式并求的单调递增区间； (2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值. 【答案】(1)，单调递增区间为； (2)完善表格见解析；图象见解析；最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】 （1）利用最大值点和零点可确定最小正周期，由此可求得；利用可求得，由此可得解析式；令即可求得单调递增区间； （2）令，利用五点作图法即可完善表格并得到图象，结合图象可求得最值. (1) 若，，即是的最大值点，是的零点，且的最小值为，设的最小正周期为，则，即，解得：. 由可得：，即有， 或，又，， 综上所述：； 令，解得：， 的单调递增区间为. (2) 根据“五点作图法”的要求先完成表格：令. 0 由图可知：当时，取到最大值；当时，取到最小值. 例2．（2022·全国·高三专题练习）把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数. （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）画出函数在区间上的大致图象. 【答案】（1），单调增区间是.（2）图见解析 【解析】 【分析】 （1）根据三角函数图象的平移变换法则以及正弦函数的对称性确定的解析式，从而可得的解析式，利用降幂公式与辅助角公式化简，然后利用正弦函数的周期公式结合正弦函数的单调性即可得结果；（2）利用“五点法”：列表、描点、连线，从而可得结果. 【详解】 （1）由题意知， 根据函数的图象关于直线对称， 得， 即， 又，所以，则， 则 ， 则函数的最小正周期， 令，得， 故函数的单调增区间是. （2）列表如下： 0 0 1 2 1 1 3 2 故在区间上的大致图象是： 【点睛】 三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调