专题18 三角恒等变换-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题18 三角恒等变换 【考点预测】 知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 知识点二．二倍角公式 ①； ②； ③； 知识点三：降次（幂）公式 知识点四：半角公式 知识点五．辅助角公式 （其中）． 【方法技巧与总结】 1．两角和与差正切公式变形 ； ． 2．降幂公式与升幂公式 ； ． 3．其他常用变式 ． 3. 拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤． 注意 特殊的角也看成已知角，如． 【题型归纳目录】 题型一：两角和与差公式的证明 题型二：给式求值 题型三：给值求值 题型四：给值求角 题型五：正切恒等式及求非特殊角 【典例例题】 题型一：两角和与差公式的证明 例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式：； (2)利用公式推导： ①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式； ②倍角公式，，. 【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析 【解析】 【分析】 在单位圆里面证明，然后根据诱导公式即可证明和，利用正弦余弦和正切的关系即可证明；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式. 【详解】 (1)不妨令. 如图， 设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点，，. 连接.若把扇形绕着点旋转角，则点分別与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，＝，∴. 根据两点间的距离公式，得： ， 化简得： 当时，上式仍然成立. ∴，对于任意角有：. (2)①公式的推导： . 公式的推导： 正切公式的推导： ②公式的推导： 由①知，. 公式的推导： 由①知，. 公式的推导： 由①知，. 例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数 ； ； ； . （1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数. （2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】（1）选第四个式子，；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)选第四个式子，由即可求三角函数式的值； (2)由题意，设一个角为，另一个角为，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值 【详解】 （1）由第四个式子： （2）证明： 【点睛】 本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题 例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O中，设，，， （1）利用单位圆､向量知识证明： （2）若，，，，求的值 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 （1）根据向量的数量积公式即可证明； （2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案． 【详解】 （1）由题意知：，且与的夹角为， 所以， 又，， 所以， 故． （2）且，则； ，则，又，，， 【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题． 例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点，，，，从这个图出发. （1）推导公式：； （2）利用（1）的结果证明：，并计算的值. 【答案】（1）推导见解析；（2）证明见解析， 【解析】 【分析】 （1）根据图象可知，再展开化简，得到两角和的余弦公式；（2）首先令，求，再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为，再根据两角差的余弦公式化简. 【详解】 （1）因为， 根据图象，可得，即， 即. 即. （2）由（1）可得， ① ② 由①+②可得： 所以， 所以. 【点睛】 本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型. 【方法技巧与总结】 推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 题型二：给式求值 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果. 【详解】 且，，. 又，，. 当时， ， ，，不合题意，舍去； 当，同理可求得，符合题意. 综上所述：. 故选：. 【点睛】 易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误. 例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A