第03讲 因式分解(精讲）【暑期完美升级—初升高数学衔接】2022年初三升高中数学完美升级衔接精讲精练（人教A版2019）

第03讲 因式分解(精讲） 目录 一、知识衔接 二、典型例题 题型一：提公因式法因式分解 题型二：运用公式法分解因式 题型三：利用平方差，完全平方和（差）公式巧计算 题型四：首项系数为“1”的二次三项式因式分解 题型五：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解 题型六：含参数的十字相乘法 题型七：十字相乘法的综合应用 题型八：分组分解法（四项式，五项式，六项式等） 题型九：利用求根法分解因式 题型十：利用因式分解解决实际问题 一、知识衔接 一、初中知识再现 1、因式分解定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解. 2、提公因式法 （1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: （2）概念内涵: ①因式分解的最后结果应当是“积”； ②公因式可能是单项式,也可能是多项式； ③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: 3、公式法： 3.1公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 3.2公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 4、十字相乘法 4.1十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 特别说明： （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则,同号(若，则,异号)，然后依据一次项系数的正负再确定,的符号 （2）若中的,为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 4.2首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 5、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 6、求根公式法 对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：. 二、高中相关知识 1、乘法公式中的立方和、立方差公式： ① ② 2、因式分解中的立方和、立方差公式 ① ② 二、典型例题 题型一：提公因式法因式分解 1．（2022·福建省漳州第一中学八年级期中）因式分解：______． 2．（2022·上海市西南模范中学九年级期中）分解因式：_________________ 3．（2022·吉林白山·一模）分解因式：______． 4．（2022·广东汕头·一模）已知，，则________． 5．（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：； 题型二：运用公式法分解因式 1．（2021·河南许昌·八年级阶段练习）由多项式与多项式相乘的法则可知： 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3 即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式． 同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式． 请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___． 2．（2022·重庆南开中学八年级期中）因式分解： (1)； (2)． 3．（2022·江苏扬州·七年级期中）因式分解 (1) (2) 4．（2022·江苏盐城·七年级期中）因式分解： (1)； (2)． 5．（2022·江苏盐城·七年级期中）分解因式： (1)