专题2.1 一元二次方程及其解法（重点题专项讲练）-2022-2023学年九年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题2.1 一元二次方程及其解法 【典例1】解方程： ①x2+（）x0（因式分解法）； ②5x2+2x﹣1＝0（公式法）； ③y2+6y+2＝0（配方法）； ④9（x﹣2）2＝121（x+1）2（直接开平方法）； ⑤1（换元法）； ⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0（适当方法）． 【思路点拨】 ①根据方程特点，采用因式分解法解答． ②根据方程的系数特点，应准确确定各个项系数，利用求根公式求得． ③可以先移项，然后利用配方法解答． ④利用直接开平方法解答； ⑤移项整理，利用换元法求得未知数的解即可． ⑥利用换元法解答． 【解题过程】 解：①x2+（）x0， （x）（x）＝0， ∴x0或x0， ∴x1，x2； ②5x2+2x﹣1＝0， a＝5，b＝2，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝4+20＝24， x， 所以x1，x2； ③y2+6y+2＝0， y2+6y＝﹣2， y2+6y+9＝﹣2+9，即（y+3）2＝7， ∴y+3， ∴y1＝﹣3，y2＝﹣3； ④9（x﹣2）2＝121（x+1）2， 3（x﹣2）＝±11（x+1）， ∴3（x﹣2）＝11（x+1）或3（x﹣2）＝﹣11（x+1）， ∴x1，x2； ⑤1， 1＝0， 设y，则原方程为y1＝0， y2﹣y﹣2＝0， 解得：y＝﹣1，或y＝2， 当y＝﹣1，1，此方程无解； 当y＝2，2，解得：x1＝1，x2， 经检验，x1＝1，x2是原分式方程的解， 所以原方程的解为x1＝1，x2． ⑥（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0， 设y＝x2﹣x， 则原方程为y2﹣5y+6＝0， 解得：y＝3，或y＝2， 当y＝3，x2﹣x＝3，x1，x2； 当y＝2，x2﹣x＝2，解得：x3＝2，x4＝﹣1； 所以原方程的解为x1，x2，x3＝2，x4＝﹣1． 1．（2021秋•恩施市期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） ①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x0． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【思路点拨】 根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【解题过程】 解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程； ②ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程； ③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程； ④3x0是分式方程． 故选：A． 2．（2021秋•望城区期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　） A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2 【思路点拨】 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【解题过程】 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：m＝﹣2． 故选：C． 3．（2021秋•宜州区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程（a+4）x2+4x﹣a2＝0的一个根，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1 【思路点拨】 把x＝﹣1代入一元二次方程（a+4）x2+4x﹣a2＝0得a+4﹣4﹣a2＝0，然后给解关于a的方程，最后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值． 【解题过程】 解：把x＝﹣1代入一元二次方程（a+4）x2+4x﹣a2＝0得a+4﹣4﹣a2＝0， 解得a1＝0，a2＝1， 因为a+4≠0， 所以a的值为0或1． 故选：D． 4．（2021秋•莲池区校级期中）已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则x2+y2的值是（　　） A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．﹣3或2 【思路点拨】 设x2+y2＝m，方程变形后用求根公式求解，再根据x2+y2≥0，这个条件确定最后结果． 【解题过程】 解：∵（x2+y2）2﹣y2＝x2+6， ∴（x2+y2）2﹣（x2+y2）＝6， 设x2+y2＝m， 原方程化为：m2﹣m﹣6＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣2， ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2＝3． 故选：B． 5．下列各数中，适合方程a3+a2＝3a+3的一个近似值（精确到0.1）是（　　） A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 【思路点拨】 先将方程进行因式分解，在估算其一个近似值，从而求解． 【解题过程】 解：原方程移项得， a3+a2﹣3a﹣3＝0， ∴（a3+a2）﹣（3a+3）＝0， ∴a2（a+1）﹣3（a+1）＝0， ⇒（a+1）（a）（a）＝0， ∴a1＝﹣1，a2，a3； 又∵1.732， ∴精确到0.1的近似值是1.7， 故选：C． 6．（2021秋•兰考县期中）方程（2x+1）（x﹣3）＝x2﹣1化为一般形式为 　 　，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 　 　． 【思路点拨】 方程整