（网络收集版）2022年全国甲卷数学（理科）高考真题文档版（含答案）

学科网（北京）股份有限公司 2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷） 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（ ） A． B． C． D． 2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（ ） A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3．设全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ） A．8 B．12 C．16 D．20 5．函数在区间的图像大致为（ ） A． B． C． D． 6．当时，函数取得最大值，则（ ） A． B． C． D．1 7．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ） A． B．AB与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ） A． B． C． D． 9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A． B． C． D． 10．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设向量，的夹角的余弦值为，且，则_________． 14．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 15．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 16．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） 记为数列的前n项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若成等比数列，求的最小值． 18．（12分） 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 19．（12分） 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 20．（12分） 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 21．（12分） 已知函数． （I）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4