专题09 空间中的距离与夹角问题-2022年新高二数学暑假预习精讲精练（新人教A版2019必修第二册+选择性必修第一册）

2022年高一数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019） 专题09空间中的距离与夹角问题 基础知识复习 任务1 点到直线的距离 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如图，设，则向量在直线l上的投影向量. 点P到直线l的距离. 任务2 点到平面的距离 设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离. 任务3 线面距离 求直线到平面的距离，先确定直线是否与平面平行，若相交，则距离是0；若平行，则将直线到平面的距离转化为直线上一点到平面的距离. 任务4 两异面直线的夹角 若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，，则. 任务5 直线与平面的夹角 直线与平面所成的角 直线与平面相交，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则. 任务6 平面与平面的夹角 平面与平面的夹角 （1）定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. （2）设平面α，β的法向量分别是，，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为，则. 典型习题强化 一、单选题 1．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（       ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥中，，，，，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 3．已知长方体中，，E是的中点，则异面直线与DE夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为3，点E在上底面内(不包含边界)，若，则AE与平面所成角的正弦值的最大值为(       ) A． B． C． D． 5．如下图，边长为2的正方体中，O是正方体的中心，M，N，T分别是棱BC，，的中点，下列说法错误的是（       ） A． B． C． D．到平面MON的距离为1 6．在正三棱锥中，，且，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（       ）． A． B． C． D． 7．如图，D是正方体的一个“直角尖”O-ABC（OA，OB，OC两两垂直且相等）棱OB的中点，P是BC中点，Q是AD上的一个动点，连PQ，则当AC与PQ所成角为最小时，（       ） A． B． C． D．2 8．如图，棱长为1的正方体中，M为线段上的动点（含端点），有下列结论 ①平面平面 ②三棱锥体积最大值为 ③当M为AB1中点时，直线与直线所成的角的余弦值为 ④直线与所成的角不可能是 其中正确的是（       ） A．①②④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 9．如图，在四棱锥中，，底面ABCD为长方形，，，Q为PC上一点，且，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 10．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使；②存在点E，使平面；③EF与所成的角不可能等于60°；④三棱锥的体积随动点E的变化而变化．其中正确结论的个数是（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 11．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则下列正确的是（       ） （参考数据：，） A． B．点的轨迹是一个圆 C．直线与平面所成角为53° D．设直线与直线所成角为，则 12．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，，P是该正四棱柱表面或内部一点，直线PB，PC与底面ABCD所成的角分别记为α，β，且sinβ＝2sinα，记动点P的轨迹与棱BC的交点为Q，则下列说法正确的是（     ） A．Q为BC中点 B．线段PA1长度的最小值为5 C．存在一点P，使得PQ∥平面AB1D1 D．若P在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面，则点P的轨迹长度为 13．如图，在棱长为1的正方体中，M为棱的中点，P为线段上的动点（包含B，两个端点），则下列说法正确的是（       ）． A．平面截正方体所得截面图形的面积为 B．存在一点P，使得直线与直线DP的公垂线段长为 C．直线DP与平面所成角的最小值为 D．当P从B移动到的过程中，直线DP与直线MB的夹角由小变大 三、填空题 14．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，给人民生命财产安全和生产生活造成了严重影响.在党和政府强有力的领导下，全国人民众志成城，取得了抗击疫情战争的重大胜利，社会生产、生活全面恢复正常.某中学结合抗疫组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作临时隔离帐篷.将一块边长为6m的正方形材料先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（