第12讲 对数与对数函数-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第12讲　对数与对数函数 1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换. · 考点1 对数的化简求值 [名师点睛] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. [典例]　 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知，则_______；_________． 【答案】     10     1 【解析】， ∴，解得，∴﹒ 故答案为：10；1﹒ 2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值 （1）； （2）；. （3）；． （4）. 【解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） 3．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算； （2）已知，求实数x的值； （3）若，，用a，b，表示． 【解】（1）原式=； （2）因为，所以，所以，所以x=109； （3）因为，所以，所以 ． [举一反三]　 1．（多选）（2021·全国·高三专题练习）设a，b，c都是正数，且，那么（       ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由于，，都是正数，故可设， ，，，则，，. ，，即，去分母整理得，. 故选AD. 2．（2022·山东滨州·二模）__________． 【答案】 【解析】解：因为， 所以， 故答案为：. 3．（2022·全国·高三专题练习）（1）2log32－log3＋log38－； （2）(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． 【解】（1）原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1. （2）原式 . 4．（2022·全国·高三专题练习）化简求值： （1）． （2）； （3）. （4） （5）． 【解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 5．（2022·全国·高三专题练习）（1）求的值. （2）已知，，试用，表示 【解】（1）原式 （2）由得到， 由，得到，即. . · 考点2 对数函数的图象及应用 [名师点睛] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. [典例]　 1．（2022·山东潍坊·二模）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以， 令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以， 因此，故A错误； ，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误； 因为，即，且，所以，故C正确； 因为，所以，即，故D错误， 故选：C. 2．（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________． 【答案】9 【解析】由，令，， 显然与的图象都关于直线对称， 在同一坐标系内作出函数，的图象，如图， 观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为， 这6个点两两关于直线对称，有，则， 所以函数的所有零点之和为9. 故答案为：9 [举一反三]　 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角