课时达标4 基本不等式（word版）-【状元桥】2023高考数学一轮总复习(新教材 新高考)

课时达标(四) 1．函数f(x)＝的最小值为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案　B 解析　f(x)＝＝|x|＋≥2＝4，当且仅当x＝±2 时，等号成立．故选B项． 2．若x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy(　　) A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值 D．有最小值 答案　C 解析　因为x>0，y>0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．所以xy有最大值，且最大值为.故选C项． 3．函数f(x)＝＋x(x<3)的最大值是(　　) A．－4 B．－1 C．1 D．5 答案　B 解析　因为x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2·＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时，等号成立，所以f(x)的最大值是－1.故选B项． 4．若x＞0，y＞0，x＋2y＝1，则的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　＝＋＝(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即x＝y＝时，等号成立，所以max＝.故选C项． 5．已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　f(x)＝＝＝x＋1＋＋1，因为x>0，所以x＋1>0，则x＋1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立，故f(x)的最小值是5.故选D项． 6．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ 答案　AD 解析　设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为＋，所以v＝＝.因为b>a>0，由基本不等式可得<，所以v＝<＝.另一方面，v＝<＝，v－a＝－a＝>＝0，所以v>a，则a<v <.故选AD项． 7．(多选)下列函数中，最小值是4的函数有(　　) A．f(x)＝x2＋ B．f(x)＝cos x＋ C．f(x)＝ D．f(x)＝3x＋ 答案　ACD 解析　对于A项，x2>0，可得f(x)＝x2＋≥2＝4，当x2＝2时，等号成立，正确；对于B项，0<cos x≤1，f(x)＝cos x＋≥5，错误；对于C项，≥1，f(x)＝＝＋≥4，当＝2时，等号成立，正确；对于D项，3x>0，f(x)＝3x＋≥2＝4，当3x＝2时，等号成立，正确．故选ACD项． 8．(多选)设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　) A．a＋b有最小值2＋2 B．a＋b有最大值2＋2 C．ab有最大值1＋ D．ab有最小值3＋2 答案　AD 解析　由ab－(a＋b)＝1，得ab＝1＋(a＋b)≤2(当且仅当a＝b>1时，等号成立)，故(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0且a＋b>2，解得a＋b≥2＋2，所以a＋b有最小值2＋2，无最大值，所以A项正确，B项错误；由ab－(a＋b)＝1，得ab－1＝a＋b≥2(当且仅当a＝b>1时，等号成立)，故ab－2－1≥0且ab>1，解得≥＋1，所以ab≥3＋2，所以ab有最小值3＋2，无最大值，所以C项错误，D项正确．故选AD项． 9．(2021·上海)已知函数f(x)＝3x＋(a>0)的最小值为5，则a＝________. 解析 f(x)＝3x＋＝3x＋1＋－1≥2－1＝5，当且仅当3x＋1＝时，等号成立，所以a＝9，经检验，当且仅当3x＝2时，等号成立． 答案 9 10．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 解析 设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积S＝xy≤2＝25，当且仅当x＝y＝5时，S取得最大值25 m2. 答案 25 11．若lg a＋lg b＝0，则＋的最小值为________. 解析 因为lg a＋lg b＝lg ab＝0，所以ab＝1，且a>0，b>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，所以＋的最小值为2. 答案 2 12．若a>0，b>0,2a＋b＝4，则的最小值为________. 解析 因为2a＋b＝4，a>0，b>0，所以＝≥＝＝，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时，等号成立，所以的最小值为. 答案 13．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E.设|AC|＝a，|BC|＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A．≤(a>0，b>0) B．<(a>0，b>0，a≠b) C．