第45期 二项分布及其应用-【数理报】2021-2022学年高中数学选修2-3(人教A版)

书 每个学生得分的数学期望为Ｅ（Ｙ）＝ｎｐ＝０．６×１０＝６，因此１０ 个同学的得分总和的数学期望是Ｅ（Ｘ）＝１０Ｅ（Ｙ）＝６０． 三、解答题 １７．解：（１）因为体能成绩Ｘ～Ｎ（μ，σ２），Ｐ（Ｘ≤７５）＝０．５， Ｐ（Ｘ≥９５）＝０．１， 所以Ｐ（７５＜Ｘ＜９５）＝１－Ｐ（Ｘ≤７５）－Ｐ（Ｘ≥９５）＝ １－０．５－０．１＝０．４． （２）由题知ξ的可能取值为０，１，２，３， Ｐ（ξ＝０）＝Ｃ０３( )１２ ３ ＝ １８，Ｐ（ξ＝１）＝Ｃ １ ３( )１２ ３ ＝ ３８， Ｐ（ξ＝２）＝Ｃ２３( )１２ ３ ＝ ３８，Ｐ（ξ＝３）＝Ｃ ３ ３( )１２ ３ ＝ １８， 所以ξ的分布列为 ξ ０ １ ２ ３ Ｐ １８ ３ ８ ３ ８ １ ８ Ｅ（ξ）＝０×１８ ＋１× ３ ８ ＋２× ３ ８ ＋３× １ ８ ＝ ３ ２． １８．解：设事件Ａ为“甲被录取”，事件Ｂ为“乙被录取”，易知 事件Ａ与事件Ｂ是相互独立事件． （１）因为甲、乙两人都被录取，即事件ＡＢ发生，所以甲、乙两 人都被录取的概率为Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝０．６×０．７＝０．４２． （２）因为甲、乙两人都不被录取，即事件ＡＢ发生，所以甲、乙两 人都不被录取的概率为Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝［１－Ｐ（Ａ）］［１－ Ｐ（Ｂ）］＝０．４×０．３＝０．１２． （３）因为甲、乙两人至少有一人被录取，即事件ＡＢ或ＡＢ或 ＡＢ发生，而事件 ＡＢ，ＡＢ，ＡＢ彼此互斥，所以甲、乙两人至少有一 人被录取的概率为 　Ｐ（ＡＢ＋ＡＢ＋ＡＢ）＝Ｐ（ＡＢ）＋Ｐ（ＡＢ）＋Ｐ（ＡＢ）＝０．１８＋ ０．２８＋０．４２＝０．８８． １９．解：（１）设袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ＋）个白球，依题意得， Ｃ２ｎ Ｃ２７ ＝ １ ７，即 ｎ（ｎ－１） ２ ７×６ ２ ＝ １７，化简得ｎ ２－ｎ－６＝０， 解得ｎ＝３或ｎ＝－２（舍去）． 所以袋子中有３个白球． （２）由（１）得，袋子中有４个红球，３个白球． Ｘ的可能取值为０，１，２，３， Ｐ（Ｘ＝０）＝ ４７，Ｐ（Ｘ＝１）＝ ３ ７× ４ ６ ＝ ２ ７，Ｐ（Ｘ＝２）＝ ３ ７ × ２ ６ × ４ ５ ＝ ４ ３５，Ｐ（Ｘ＝３）＝ ３ ７ × ２ ６ × １ ５ × ４ ４ ＝ １ ３５． 所以Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ ４７ ２ ７ ４ ３５ １ ３５ 所以Ｅ（Ｘ）＝０×４７ ＋１× ２ ７ ＋２× ４ ３５＋３× １ ３５＝ ３ ５． ２０．解：（１）根据题意，Ｘ的所有可能取值为０，５００，１０００， Ｐ（Ｘ＝０）＝ １５＋ ４ ５× １ ２× １ ５ ＝ ７ ２５，Ｐ（Ｘ＝５００）＝ ４ ５ ×１２ ＝ ２ ５，Ｐ（Ｘ＝１０００）＝ ４ ５ × １ ２ × ４ ５ ＝ ８ ２５， 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 Ｘ（元）的分布 列为 Ｘ ０ ５００ １０００ Ｐ ７２５ ２ ５ ８ ２５ （２）由（１）可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金 Ｘ的均值 Ｅ（Ｘ）＝５００×２５ ＋１０００× ８ ２５＝５２０． 若选择方案乙进行抽奖，则中奖次数 ξ (～Ｂ ３， )２５ ，所以 Ｅ（ξ）＝３×２５ ＝ ６ ５，抽奖所获奖金Ｘ的均值Ｅ（Ｘ）＝Ｅ（４００ξ） ＝４００Ｅ（ξ）＝４８０， 故选择方案甲更划算． ２１．解：（１）ξ的可能取值为０，１，２，３， Ｐ（ξ＝０）＝ １４ × １ ３ × １ ２ ＝ １ ２４，Ｐ（ξ＝１）＝ ３ ４ × １ ３ × １ ２ ＋ １ ４ × ２ ３ × １ ２ ＋ １ ４ × １ ３ × １ ２ ＝ １ ４，Ｐ（ξ＝２）＝ ３ ４ × ２ ３ × １ ２ ＋ １ ４ × ２ ３ × １ ２ ＋ ３ ４ × １ ３ × １ ２ ＝ １１ ２４，Ｐ（ξ＝３）＝ ３ ４ × ２ ３ × １ ２ ＝ １ ４，所以ξ的分布列为 ξ ０ １ ２ ３ Ｐ １２４ １ ４ １１ ２４ １ ４ Ｅ（ξ）＝０×１２４＋１× １ ４ ＋２× １１ ２４＋３× １ ４ ＝ ２３ １２． （２）设“甲队和乙队得分之和为４”为事件 Ａ，“甲队比乙队 得分高”为事件Ｂ，则Ｐ（Ａ）＝ １４ ×Ｃ ３ ３( )２３ ３ ＋１１２４×Ｃ ２ ３( )２３ ２ ×１３＋ １ ４×Ｃ １ ３( )２３ ×( )１３ ２ ＝１３，Ｐ（ＡＢ）＝ １ ４×Ｃ １ ３( )２３ × ( )１３ ２ ＝ １１８， 所以Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ） ＝ １ １８ １ ３ ＝ １６． ２２．解：（１）由题意知ｘ＝３，ｙ＝４． （２）因为景点甲的每一天的游客数超过１２０人的概率为 ６１０ ＝ ３５，任取４天，即是进行了４次独立重复试验，其中有 ξ次发 生，故随机变量ξ服从二项分布，则Ｐ（ξ≤２）＝Ｃ０４×( )３５ ０ × ( )２５ ４ ＋Ｃ１４×( )３５ ×(