第42期 二项式定理-【数理报】2021-2022学年高中数学选修2-3(人教A版)

书 ｜ａ３｜＋｜ａ４｜＋｜ａ５｜＋｜ａ６｜＋｜ａ７｜＝ａ０－ａ１＋ａ２－ａ３＋ ａ４－ａ５＋ａ６－ａ７＝－（－ａ０＋ａ１－ａ２＋ａ３－ａ４＋ａ５－ａ６ ＋ａ７）＝－［３×（－１）－１］ ７ ＝４７． （３）令ｆ（ｘ）＝（３ｘ－１）７，那么ｆ（１）＝ａ０＋ａ１＋ａ２ ＋ａ３＋ａ４＋ａ５＋ａ６＋ａ７， ｆ（－１）＝－ａ０＋ａ１－ａ２＋ａ３－ａ４＋ａ５－ａ６＋ａ７， 那么２（ａ１＋ａ３＋ａ５＋ａ７）＝ｆ（１）＋ｆ（－１）＝２ ７－４７， 所以ａ１＋ａ３＋ａ５＋ａ７ ＝２ ６－２１３ ＝－８１２８． ９．解：（１）因为Ｃ４ｎ＋Ｃ ６ ｎ ＝２Ｃ ５ ｎ， 所以ｎ２－２１ｎ＋９８＝０， 解得ｎ＝７或ｎ＝１４． 当ｎ＝７时，展开式中二项式系数最大的项是Ｔ４和 Ｔ５，所以Ｔ４项的系数为Ｃ ３ ７( )１２ ４ ·２３ ＝３５２， Ｔ５项的系数为Ｃ ４ ７( )１２ ３ ·２４ ＝７０； 当ｎ＝１４时，展开式中二项式系数最大的项是Ｔ８， 故Ｔ８项的系数为Ｃ ７ １４( )１２ ７·２７ ＝３４３２． （２）由Ｃ０ｎ＋Ｃ １ ｎ＋Ｃ ２ ｎ＝７９得ｎ＝１２或ｎ＝－１３（舍）， 设Ｔｋ＋１项的系数最大，即第ｋ＋１项的系数不小于它 前项、后项的系数， 所以 Ｃｋ１２４ ｋ－６≥Ｃｋ－１１２４ ｋ－７， Ｃｋ１２４ ｋ－６≥Ｃｋ＋１１２４ ｋ－５{ ， 所以９．４≤ｋ≤１０．４． 因为ｋ∈Ｎ，所以ｋ＝１０． 即展开式中系数最大的项为Ｔ１１＝( )１２ ２ Ｃ１０１２２ １０ｘ１０＝ １６８９６ｘ１０． ４３期参考答案 计数原理章节测试题 一、选择题 １～６　ＢＢＣＡＡＤ　　７～１２　ＡＣＡＤＣＢ 提示： １．用数字１，２，３组成无重复数字的三位数相当于将 １，２，３全排列，共有Ａ３３ ＝６个． ２．二项式 ｘ２－１( )ｘ ５ 的展开式中通项公式 Ｔｒ＋１ ＝ （－１）ｒＣｒ５ｘ １０－２ｒｘ－ｒ＝（－１）ｒＣｒ５ｘ １０－３ｒ，令１０－３ｒ＝４，可得ｒ ＝２，所以展开式中含ｘ４的项的系数是（－１）２Ｃ２５ ＝１０． ３．由 Ｃ３ｎ ＝Ｃ ４ ｎ，得 ｎ＝７，可求出 ｎ！ ３！（ｎ－３）！＝ ７×６×５×４！ ３！４！ ＝ ７×６×５ ３×２×１＝３５． ４．１＋Ｃ１６ｉ＋Ｃ ２ ６ｉ ２＋Ｃ３６ｉ ３＋Ｃ４６ｉ ４＋Ｃ５６ｉ ５＋Ｃ６６ｉ ６ ＝（１＋ ｉ）６ ＝（２ｉ）３ ＝－８ｉ． ５．从６名男生和２名女生中选出３名志愿者，共有Ｃ３８ 种结果，其中包括不合题意的没有女生的选法，其中没有 女生的选法有Ｃ３６，所以至少有１名女生的选法有Ｃ ３ ８－Ｃ ３ ６ ＝５６－２０＝３６． ６．若男生２人，女生３人，则选法有Ｃ２３０·Ｃ ３ ２０，若男生 ３人，女生 ２人，则选法有 Ｃ３３０·Ｃ ２ ２０，所以选法共计 Ｃ２３０·Ｃ ３ ２０＋Ｃ ３ ３０·Ｃ ２ ２０． ７．由题意ｎ＝２∫ ３ ０ｘｄｘ＋１＝２× １ ２ｘ ２ ３ ０＋１＝１０，即 二项式为 ｘ２－ １ ２槡 ( )ｘ １０ ，则展开式的通项为 Ｔｒ＋１ ＝ Ｃｒ１０（ｘ ２）１０－ｒ － １ ２槡 ( )ｘ ｒ ＝ －( )１２ ｒ Ｃｒ１０ｘ ２０－５２ｒ，当ｒ＝８时，得 到常数项为 －( )１２ ８ Ｃ８１０ ＝ ４５ ２５６． ８．３张卡片不能是同一种颜色，有两种情形：三种颜 色或者两种颜色，如果是三种颜色，取法数为 Ｃ３４Ｃ １ ４Ｃ １ ４Ｃ １ ４ ＝２５６；如果是两种颜色，取法数为Ｃ１４Ｃ １ ３Ｃ ２ ４＋２Ｃ ２ ３Ｃ １ ４Ｃ ２ ４ ＝ ２１６，所以取法总数为２５６＋２１６＝４７２． ９．因为（ｘ＋１）ｎ ＝（１＋ｘ）ｎ，所以ａ＝Ｃ３ｎ，ｂ＝Ｃ ２ ｎ，依 题意得Ｃ３ｎ ＝３Ｃ ２ ｎ，即 ｎ（ｎ－１）（ｎ－２） ３×２×１ ＝ ３ｎ（ｎ－１） ２×１ ，解得 ｎ＝１１．所以ｂ＝Ｃ２１１ ＝ １１×１０ ２ ＝５５． １０．令ｘ＝０得ａ０ ＝１，由展开式的通项公式可知ａ１ ＝Ｃ９１０×２ １×（－１）９＝－２０，令ｘ＝１得ａ０＋ａ１＋… ＋ａ９ ＋ａ１０ ＝１，所以ａ２＋ａ３＋… ＋ａ９＋ａ１０＝１－１－（－２０） ＝２０． １１．分两步进行分析： 第一步：先将３个歌舞类节目全排列，有Ａ３３＝６种情 况，排好后，有４个空位； 第二步：因为３个歌舞类节目不能相邻，则中间２个 空位必须安排２个节目， 分２种情况讨论： ①将中间２个空位安排１个小品类节目和１个相声 类节目，有Ｃ１２Ａ ２ ２ ＝４种情况， 排好后，最后１个小品类节目放在２端，有２种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是６×４×２＝４８种； ②将中间２个空位安排２个小品类节目，有 Ａ２２ ＝ ２种情况， 排好后，有６个空位，相声类节目有６个空位可选，即 有６种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是６×２×