21.2.4 一元二次方程的解法（三）公式法（课件）-2022-2023学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

一元二次方程的解法（三） --公式法 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.（重、难点） 2 1.用配方法解一元二次方程的一般步骤？ (1)将一元二次方程化为一般形式； (2)把常数项移到方程的右边； (3)在方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1； (4)在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边化为一个完全平方式，右边为一个常数； (5)当方程右边为一个非负数时，用直接开平方法解这个一元二次方程；当方程右边是负数时，原方程无实数根. 用配方法解下列方程： 解：移项，得 x2－2x=3, 配方，得 x2－2x+12=3+12 , (x－1)2=4 由此可得 即 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2+2x=1, 即 x－1=±2 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出ax2+bx+c=0(a≠0)的解呢？ 系数化为1，得 解: 移项，得 配方，得 即 接下来能用直接开平方解吗？ ① ∵a≠0,4a2>0， 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ） （1）b2-4ac＞0时， 这时 ，由①得 ① 方程有两个不等的实数根 ∵a≠0,4a2>0， 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ） ① （2）b2-4ac=0时， 这时 ，由①可知，方程有两个相等的实数根 ∵a≠0,4a2>0， 式子b2-4ac的值有以下三种情况： (x+n)2=p有实数根的条件是（ p≥0 ） ① （3）b2-4ac＜0时， 这时 ，由①可知 ，而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根. 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac. 当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根. Δ＞0 方程有两个不等的实数根； Δ＝0 方程有两个相等的实数根； Δ＜0 方程无实数根. 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac. 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 例1.用公式法解下列方程： (1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4) x2+17=8x 解：(1) a=1，b=-4，c=-7. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0 方程有两个不等的实数根 即 解：(2) a=2，b=-2，c=1. Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0 方程有两个相等的实数根 例1.用公式法解下列方程： (1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x 解：(3) 方程化为5x2-4x-1=0. a=5，b=-4，c=-1. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0 方程有两个不等的实数根 即 12 例1.用公式法解下列方程： (1)x2-4x-7=0 (2)2x2-2x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x 解：(4) 方程化为x2-8x+17=0. a=1，b=-8，c=17. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0 方程无实数根 . 【点睛】公式法解方程的步骤：一化:化已知方程为一般形式;二定:用a,b,c写出各项系数;三求:b2-4ac的值;四判：若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出;若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 用公式法解下列方程： 解：(1) a=1，b=1，c=-6. Δ=b2-4ac=12-4×1×(-6)=25＞0 方程有两个不等的实数根