21.2.3因式分解法（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第21章 一元二次方程 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 21.2.3 因式分解法 BY YUSHEN BY YUSHEN 情景引入 一元二次方程的一般形式： ，bx，c分别叫做_________、_________、_________. a，b，c分别叫做_____________、_________________、_____________. 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 常数项 (a ， b ， c为常数，a≠0) BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 若A×B=0，下面两个结论正确吗？ （1）A和B都为0，即A=0，且B=0. （2）A和B至少有一个为0，即A=0或B=0. 你能用上面的结论解方程吗？ 思考： 思考： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 若A·B=0，则 A=0或B=0. 我们可以得到： 若 BY YUSHEN BY YUSHEN 因式分解法 新知探究 前面解方程时利用了什么方法呢? 因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式. 像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 思考： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 解方程： 配方法 解： 公式法 解： x2-7x=0. ∵ a=1,b=-7,c=0. ∴ b2－4ac = (－7)2－4×1×0=49. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 解：将原方程的左边分解因式得： 解得 则 ，或 解方程： 对比以上三种方法， 哪种更简单？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 x-7 = 0 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 x - 7x2 = 0 ① x(x - 7) = 0 ② x = 0， 解方程时，二次方程是如何降为一次的？ 思考： BY YUSHEN BY YUSHEN 因式分解法 新知探究 使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 因式分解法的基本步骤： 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 将方程的左边分解因式， 得 x(3x－17)=0， 则x=0 ，或3x－17=0， 解一元二次方程： 解： 化简方程，得 解得 ， 化简后提公因式 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 解方程： 解： 把 看成整体 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 解：移项、合并同类项，得 因式分解，得 (2x＋1)(2x - 1) = 0. 解得 ∴ 2x＋1 = 0，或 2x - 1 = 0. 解方程： 利用平方差公式 因式分解 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 将方程的左边分解因式，得 解方程： . 解：移项，得 即 则 ，或 解得 , BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 解方程： 解： BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 (3m + 2)2 − 7(3m + 2) + 10 = 0． 解：分解因式，得 (3m + 2 - 2)(3m + 2 - 5) = 0. ∴ 3m + 2 - 2 = 0， 或 3m + 2 - 5 = 0， 解得 m1 = 0，m2 = 1. 将 (3m + 2) 看作一个 整体，进行因式分解 例6 解方程： BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例7 x2-2mx-4n2+m2=0 解： x2-2mx+m2-4n2=0 (x-m)2-(2n)2=0 (x-m+2n) (x-m-2n)=0 x-m+2n=0或 x-m-2n=0 ∴x1= m-2n， x2= m+2n 解方程： 把字母看作常数仍然 可以解方程 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例8 如果方程 与方程 有一个公共根是3，求a，b的值，并分别求出两个方程的另一根． 解：两个方程有一个公共根是3，因此 解得 解方程 得 ， 解方程 得 ， ∴方程 的另一个根为0， 方程 的另一根为-3 BY YUSHEN BY YUSHEN 十字相乘法 新知探究 (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (a，b 均为常数) 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 整式的乘法 反过来，得 x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) 一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积 因式分解 如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a + b，那么 x2 + px + q 就可以用如上的方法进行因式分解. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式 简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 解方程：x2 + 6x - 7 = 0. 解：因式分解得 (x + 7)(x − 1) = 0. ∴ x + 7 = 0， 或 x − 1 = 0. ∴ x1= −7， x2 = 1. · × BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例9 用十字相乘法解下列方程： (1) x2 −5x + 6 = 0； 解：分解因式，得 (x − 2)(x − 3) = 0， (2) x2 + 4x − 5 = 0； 解：分解因式，得 (x + 5)(x − 1) = 0， 解得 x1 = 2，x2 = 3. 解得 x1 = −5，x2 = 1． · × · × BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例10 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0，或 x + 5 = 0. 解得 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 = 方程一边以平方形式出现， 另一边是常数， 可用直接开平方法. 该式左右两边含公因式， 所以用因式分解法解答较快. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例10 (3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1. 解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62， 即 (x - 6)2 = 40. 开平方，得 解得 x1 = ， x2 = 解：整理成一般形式，得 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵ Δ = b2 - 4ac = 28 > 0， 二次项系数为 1， 可用配方法解较快. 二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法. BY YUSHEN BY YUSHEN 一元二次方程的解法选择基本思路 典例精析 1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，应选用直接开平方法； 2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，应选用因式分解法； 3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 因式分解法 形式 步骤 简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解 如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 将方程左边因式分解，使右边为 0 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 - b2 = (a + b)(a - b). BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.方程（x+1）2=x+1的正确解法是（ ） A.化为x+1=1 B.化为（x+1）（x+1-1）=0 C.化为x2+3x+2=0 D.化为x+1=0 2.方程x2=3x的解为（　　） A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3 D C 3.方程x(x+2)=0的根是 (　　) A.x=2　　　　　　　　B.x=0 C.x1=0,x2=-2 D.x1=0,x2=2 C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 4.方程(x-5)(x-6)=(x-5)的解是 (　　) A.x=5 B.x=5或x=6 C.x=7 D.x=5或x=7 D -3或4 5.对于实数a，b，定义运算“◎”如下： 若 ，则m=_________． 6.用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程　　　　,　　　　求解.  7.方程x2-16=0的解是　　　　____.  x+3=0 5-2x=0 x1=4,x2=-4 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.用适当方法解下列方程. (1)x2+x=0; (3)3x2-6x=-3 解:(1)将方程左边分解因式, 得x(x+1)=0, ∴x=0或x+1=0. ∴x1=0,x2=-1. (2)将方程左边分解因式, 得 (3)移项,得3x2-6x+3=0, 将方程左边分解因式 得3(x-1)2=0 ∴x1=x2=1. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.用适当方法解下列方程. (4)4x2-121=0; (5)3x(2x+1)=4x+2; (6)(x+4)2=(5-2x)2. (4)将方程左边分解因式, 得(2x+11)(2x-11)=0, ∴2x+11=0或2x-11=0. ∴x1= , x2= . (5)移项,得 3x(2x+1)-(4x+2)=0, 将方程左边分解因式,得(2x+1)(3x-2)=0, ∴2x+1=0或3x-2=0. ∴-x+9=0 或3x-1=0. 解(6):移项,得 (x+4)2-(5-2x)2=0, 将方程左边分解因式, 得(x+4+5-2x)(x+4-5+2x)=0, BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 (7) 3x2＋2x＝0； (8) x2＝3x. 解： 方程左边分解因式， 得 x(3x＋2)＝0. 所以x＝0或3x＋2＝0. 得 x1＝0， 解:移项，得x2－3x＝0. 方程左边分解因式，得 x(x－3)＝0. 所以x＝0或x－3＝0. 得x1＝0，x2＝3. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 (9) (x + 1)2 = 5x + 5； 即 x1 = −1，x2 = 4． 解：∵ (x + 1)2 = 5(x + 1)， ∴ (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0. 则 (x + 1)(x − 4) = 0. ∴ x + 1 = 0，或 x − 4 = 0， (10) x2 − 6x + 9 = (5 − 2x)2． 解：方程整理得 (x − 3)2 − (5 − 2x)2 = 0，则 [(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0， ∴ 2 − x = 0，或 3x − 8 = 0， 即 x1 = 2，x2 = . 即 (2 − x)(3x − 8) = 0. BY YUSHEN BY YUSHEN $$