21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（同步课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

人教版数学九年级上册 第21.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系 人教版数学九年级上册 学习目标 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题. 3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力. 人教版数学九年级上册 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 复习引入 人教版数学九年级上册 根与系数的关系还有其他的表示吗？ 复习引入 人教版数学九年级上册 思考 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0   这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.   于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： (x1+x2)=-p，x1x2=q. 互动新授 人教版数学九年级上册 思考 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 根据求根公式可知， 由此可得 互动新授 人教版数学九年级上册 因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 互动新授 如果把上述方程ax2+bx+c=0（a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？ 人教版数学九年级上册 (x1+x2)=-p x1x2=q 互动新授 注意：(1)不是一般式的，要化成一般式. (2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0. 人教版数学九年级上册 典例精析 例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 解:(1)a=1，b=-6，c=-15. Δ=b2 -4ac=(-6)2-4×1×(-15)=96>0. ∴方程有两个实数根. ∴x1+x2=6,x1x2=-15. 人教版数学九年级上册 典例精析 例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 (2)a=3，b=7，c=-9. Δ=b2 -4ac=72-4×3×(-9)=157>0. ∴方程有两个实数根. ∴x1+x2=-,x1x2=-3. 人教版数学九年级上册 典例精析 例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 (3)方程化为一般形式为4x2-5x+1=0 a=4，b=-5，c=1. Δ=b2 -4ac=(-5)2-4×4×1=9>0. ∴方程有两个实数根. ∴x1+x2= , x1x2=. 人教版数学九年级上册 例5 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1+x2=1+x2=6， 即：x2=5. 由于x1•x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 典例精析 人教版数学九年级上册 1.设x1、x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , （2) x1·x2= , （3) = , （4) ， 4 1 14 6 小试牛刀 人教版数学九年级上册 1.已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则＝（　　） A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2 2.若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2005 B．2003