专题16 极值与最值-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题16极值与最值 【考点预测】 知识点一：极值与最值 1．函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 2．函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【方法技巧与总结】 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 【题型归纳目录】 题型一：求函数的极值与极值点 题型二：根据极值、极值点求参数 题型三：求函数的最值（不含参） 题型四：求函数的最值（含参） 题型五：根据最值求参数 题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用 题型七：不等式恒成立与存在性问题 【典例例题】 题型一：求函数的极值与极值点 例1．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知函数． 当时，求函数的极值； 【解析】 由题知，当时，， ∴，令，． ∴时，，单调递减； 时，，单调递增． ∴是的极小值点，∴的极小值为，无极大值． 例2．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）设. (1)求在上的极值； (2)若对，，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，极大值为 (2) 【解析】 【分析】 （1）直接求导计算即可． （2）将问题转化为，构造新函数在上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以． (1) 由， 得的单调减区间是，， 同理，的单调增区间是. 故的极小值为，极大值为. (2) 由对称性，不妨设， 则即为. 设，则在上单调递增， 故在上恒成立. 方法一：（含参讨论） 设， 则，，解得. ，，. ①当时，， 故，当时，，递增； 当时，，递减； 此时，，在上单调递增，故，符合条件. ②当时，同①，当时，递增；当时，递减； ∵，， ∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，，. 于是，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ∵，，∴，符合条件. 综上，实数的取值范围是. 方法二：（参变分离） 由对称性，不妨设， 则即为. 设，则在上单调递增， 故在上恒成立. ∵，∴在上恒成立 ，. 设，，则，. 设，， 则，. 由，，得在，上单调递增； 由，，得在，上单调递减. 故时； 时. 从而，，， 又时，，故，， ，单调递减，，. 于是，.综上，实数的取值范围是. 例3．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知函数……自然对数底数）. (1)当时，求函数f（x）的单调区间； (2)当