§5　5.2.2 平面与平面垂直的判定（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　) A．平行　　　　　　　 B．共面 C．垂直 D．不垂直 解析：如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1. 答案：C 2．已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为a∥α，所以在平面α内必定存在一条直线a′有a∥a′.因为a⊥b，所以a′⊥b.若a⊥β，则a′⊥β，又a′⊂α，可得α⊥β.反之，若α⊥β，由α∩β＝b，a′⊥b，a′⊂α可得a′⊥β，又a∥a′，则有a⊥β.所以“a⊥β”是“α⊥β”的充分必要条件． 答案：C 3．如图，在立体图形DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE C．平面ABD⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析：由条件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E， ∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ADC，AC⊂平面ABC. ∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE. 答案：B 4．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD.同理，平面ACD⊥平面ABD.所以互相垂直的平面有3对． 答案：C 5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体中，下列说法正确的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ACD⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BCD D．平面ACD⊥平面ABC 解析：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝45°， ∴∠ADC＝135°，∵AD＝AB，∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝45°， ∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD. 又在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD， 又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD. 答案：D 6.如图，点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①A1P∥平面ACD1；②DP⊥BC1；③平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确结论的序号) 解析：连接AC，A1C1，A1B，AD1，D1C(图略)．因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.又因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1，又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，且AC∩AD1＝A，所以平面ACD1∥平面A1BC1.因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故①正确．连接DB，DC1，DP.因为DB＝DC1，所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1，故②错误．因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.连接B1D，又因为B1D⊂平面BB1D1D，所以B1D⊥AC.同理可证B1D⊥AD1.又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1.又因为B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故③正确． 答案：①③ 7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求证：DC⊥平面PAC； (2)求证：平面PAB⊥平面PAC. 证明：(1)因为PC⊥平面ABCD， 所以PC⊥DC. 又因为DC⊥AC，AC∩PC＝C. 所以DC⊥平面PAC. (2)因为AB∥DC，DC⊥AC， 所以AB⊥AC. 因为PC⊥平面ABCD，